Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 3/2} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾-1/4}
f: A → B
f(x)=x^{2}-3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon A to B com
A=xinRmid x>= tfrac32,
B=yinRmid y>= -tfrac14 e
f(x)=x^2-3x+2
Queremos achar a inversa f^-1colon Bto A.

Passo 2

Para existir inversa, f deve ser injetora em A. Vamos ver a monotonicidade pelo derivado:
f'(x)=2x-3
Em A temos x>= tfrac32, então
f'(x)=2x-3>= 2cdottfrac32-3=0,
com igualdade só em x=tfrac32 (o vértice). Logo f é estritamente crescente em [tfrac32,infty). Além disso,
fl(tfrac32r)=l(tfrac32r)^2-3cdottfrac32+2 =tfrac94-tfrac92+2=-tfrac14,
confirmando que o contradomínio é exatamente y>= -tfrac14.

Passo 3

Para inverter, escrevemos
y = x^2-3x+2
e trazemos tudo para um lado:
x^2-3x+(2-y)=0

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara ao polinômio x^2-3x+(2-y):
x = 3 pm raiz,(-3)^2-4cdot1cdot(2-y),2 = 3 pm raiz9-8+4y2 = 3 pm raiz1+4y2

Passo 5

Como em A temos x>= tfrac32, escolhemos o sinal “ +” na raiz. Assim
f^-1(y)=3+raiz1+4y2,
com domínio y>= -tfrac14.

Resposta

f^-1(y)=3+raiz1+4y2, yinl[-tfrac14,inftyr)

Exercícios de Livros Relacionados