Seja a função em definida por . Construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de e .
-1 -5
0 -3
1 -1
2 1
3 3
4 5
-5 -1
-3 0
-1 1
1 2
3 3
5 4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x-3
e pede para desenhar no mesmo plano cartesiano o gráfico de f e de sua inversa f^-1.
O conteúdo envolvido é: definição de função inversa e esboço de retas (funções lineares).

Passo 2

Para encontrar f^-1, começamos com
y = 2x - 3,
trocamos x por y e y por x, e resolvemos para y:
x = 2y - 3 Longrightarrow 2y = x + 3 Longrightarrow y = x+32
Logo,
f^-1(x)=x+32

Passo 3

Note que ambas as funções são retas:
f(x)=2x-3 tem coeficiente angular m=2 e coeficiente linear -3.
f^-1(x)=tfrac12x+tfrac32 tem coeficiente angular m=tfrac12 e coeficiente linear tfrac32.
Elas se interceptam quando f(x)=f^-1(x), isto é,
2x-3 = x+32 Longrightarrow 4x -6 = x+3 Longrightarrow 3x =9 Longrightarrow x=3,
logo o ponto de interseção é (3,3).

Passo 4

Para esboçar cada reta, montamos tabelas de alguns pontos:
Para f(x)=2x-3:
r|r x & y=f(x)hline -1 & -5 0 & -3 1 & -1 2 & 1
Para f^-1(x)=tfracx+32:
r|r x & y=f^-1(x)hline -5 & -1 -3 & 0 1 & 2 3 & 3

Passo 5

No plano cartesiano:
  1. Trace eixos x e y.
  2. Marque e conecte os pontos da tabela de f, obtendo uma reta de inclinação 2 passando por (0,-3).
  3. Marque e conecte os pontos da tabela de f^-1, obtendo uma reta de inclinação tfrac12 passando por (0,tfrac32).
  4. Observe que cada ponto (a,b) em f corresponde a (b,a) em f^-1, ou seja, os gráficos são simétricos em relação à reta y=x.

Resposta

O gráfico de f(x)=2x-3 é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto em (0,-3).
O gráfico de f^-1(x)=tfracx+32 é uma reta de coeficiente angular tfrac12 e intercepto em (0,tfrac32).
Ambas se cruzam em (3,3) e são simétricas em relação à reta y=x.

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