Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 2} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩽ 9}
f: A → B
f(x)=-x^{2}+4 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon Ato B, A=xinRmid x>=2,;B=yinRmid y<=9,
definida por
f(x) = -x^2 + 4x + 5
Queremos encontrar f^-1. Primeiro confirmamos que f é injetora em A:
f'(x) = -2x + 4 <= -2cdot2 + 4 = 0
para x>=2, logo f é estritamente decrescente em A e admite inversa.

Passo 2

Para achar f^-1, escrevemos y = f(x) e resolvemos em x:
y = -x^2 + 4x + 5 Longrightarrow -x^2 + 4x + 5 - y = 0 Longrightarrow x^2 - 4x + (y - 5) = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em
x^2 - 4x + (y-5) = 0:
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot(y-5)2 = 4 pm raiz16 - 4y + 202 = 4 pm raiz36 - 4y2 = 2 pm raiz9 - y

Passo 4

Como o domínio de f é x>=2, devemos escolher o ramo que satisfaça x>=2. Note que
2 - raiz9-y<=2 e 2 + raiz9-y>=2,
para todo y<=9. Logo a inversa é
f^-1(y) = 2 + raiz9 - y, y<=9

Resposta

f^-1(y) = 2 + raiz9 - y, B=yinRmid y<=9

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