Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A ={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 5/4} e
f: A → B
e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾-9/8}
f(x)=2 x^{2}-5 x+2

Passo 1

O enunciado define
A=xinRmid x>=5/4,
B=yinRmid y>=-9/8
e a função
fcolon Ato B, f(x)=2x^2-5x+2
Queremos encontrar a inversa f^-1colon Bto A. Para isso, vamos usar propriedades de funções quadráticas (no vértice e monotonicidade) e a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Primeiro, verifiquemos que f é injetora em A. Como f é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo ( a=2>0), seu vértice é mínimo em
xv = -b2a = --52cdot2 = 54,
e
fl(5/4r) = 2l(5/4r)^2 - 5l(5/4r) + 2 = -98
Restrigimos o domínio a [5/4,infty), ou seja, à direita do vértice, onde f é estritamente crescente. Logo, f é injetora em A e admite inversa.

Passo 3

Para achar f^-1, escrevemos
y = 2x^2 - 5x + 2
e reorganizamos como equação quadrática em x:
2x^2 - 5x + (2 - y) = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara à equação
2x^2 - 5x + (2 - y) = 0,
temos
x = 5 pm raiz(-5)^2 - 4cdot2cdot(2 - y)2cdot2 = 5 pm raiz25 - 8(2 - y)4 = 5 pm raiz9 + 8y4

Passo 5

Precisamos escolher o sinal que garante x>=5/4. Quando y=-9/8, raiz9+8y=0 e ambas as raízes valem 5/4. Para y>-9/8, a opção com “ +” produz valores maiores que 5/4, enquanto a opção com “ -” fica abaixo de 5/4. Portanto
f^-1(y) = 5 + raiz9 + 8y4, y>= -tfrac98

Resposta

f^-1colon Bto A, f^-1(y) = 5 + raiz9 + 8y4, y>= -98

Exercícios de Livros Relacionados