Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A ={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 5/4} e
f: A → B
e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾-9/8}
f(x)=2 x^{2}-5 x+2
A ={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 5/4} e
f: A → B
e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾-9/8}
f(x)=2 x^{2}-5 x+2
Passo 1
O enunciado define
,
e a função
e a função
Queremos encontrar a inversa
. Para isso, vamos usar propriedades de funções quadráticas (no vértice e monotonicidade) e a fórmula de Bhaskara.
Passo 2
Primeiro, verifiquemos que
é injetora em
. Como
é uma parábola com coeficiente de
positivo (
), seu vértice é mínimo em
e
Restrigimos o domínio a
, ou seja, à direita do vértice, onde
é estritamente crescente. Logo,
é injetora em
e admite inversa.
Passo 3
Para achar
, escrevemos
e reorganizamos como equação quadrática em
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara à equação
temos
Passo 5
Precisamos escolher o sinal que garante
. Quando
,
e ambas as raízes valem
. Para
, a opção com “
” produz valores maiores que
, enquanto a opção com “
” fica abaixo de
. Portanto