Sejam f e g as funções reais definidas por
f(x)=llx^2-4 x+3 & se x >= 2 2 x-3 & se x<2 e g(x)=2 x+3.
Obtenha as leis que definem f circ g e g circ f

Passo 1

O enunciado define as funções reais
e
Queremos obter as regras que definem as composições , tratando corretamente cada ramo de .

Passo 2

Para (fcirc g)(x)=f(2x+3) precisamos saber quando o argumento 2x+3 cai em cada ramo de f.
2x+3>=2iff x>= -tfrac12,
2x+3<2iff x< -tfrac12
Se x>= -tfrac12, aplicamos o ramo tmapsto t^2-4t+3 com t=2x+3:
f(2x+3)=(2x+3)^2 -4(2x+3)+3 = 4x^2+12x+9 -8x -12 +3 = 4x^2 +4x
Se x< -tfrac12, usamos o ramo tmapsto 2t-3:
f(2x+3)=2(2x+3)-3 = 4x+6-3 = 4x+3

Passo 3

Portanto
(fcirc g)(x)= 4x + 3, & x < -tfrac12, 4x^2 + 4x, & x >= -tfrac12

Passo 4

Agora (gcirc f)(x)=2,f(x)+3. Aqui a divisão de ramos vem diretamente de x<2 ou x>=2.
Se x<2, então f(x)=2x-3 e
g(f(x))=2(2x-3)+3 = 4x -6 +3 = 4x -3
Se x>=2, então f(x)=x^2 -4x +3 e
g(f(x))=2(x^2-4x+3)+3 = 2x^2 -8x +6 +3 = 2x^2 -8x +9

Passo 5

Logo
(gcirc f)(x)= 4x - 3, & x < 2, 2x^2 - 8x + 9, & x >= 2

Resposta

(fcirc g)(x)= 4x + 3, & x < -tfrac12, 4x^2 + 4x, & x >= -tfrac12,
(gcirc f)(x)= 4x - 3, & x < 2, 2x^2 - 8x + 9, & x >= 2

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