Obtenha a função inversa das seguintes funções:
f: R-13 R-53
f(x)=5 x+23 x-1

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
fcolon Rsetminusltfrac13r;longrightarrow;Rsetminusltfrac53r,
definida por
f(x)=5x+23x-1
O conteúdo aplicado é a inversão de uma função racional afim, que consiste em trocar x por y e resolver para x.

Passo 2

Definimos
y = 5x+23x-1
e multiplicamos ambos os lados por (3x-1), obtendo
y,(3x-1)=5x+2

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos com x, temos
3xy - y = 5x + 2 Longrightarrow 3xy - 5x = y + 2 Longrightarrow x,(3y - 5) = y + 2
Isolando x,
x = y+23y-5

Passo 4

Essa expressão em y é a inversa f^-1(y). Trocando o nome de y para x, concluímos que
f^-1(x)=x+23x-5
O domínio de f^-1 é Rsetminustfrac53 e sua imagem é Rsetminustfrac13.

Resposta

f^-1(x)=x+23x-5, dom(f^-1)=Rsetminusltfrac53r, Im(f^-1)=Rsetminusltfrac13r

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