Sejam f e g funções de R em R tais que f(x)=a x+b e g(x)=c x+d. Determine a relação entre a, b, c e d, de modo que f circ g=g circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções lineares
fcolon RtoR definida por f(x)=a,x+b
e
gcolon RtoR definida por g(x)=c,x+d.
Queremos a condição sobre a,b,c,d para que
fcirc g = gcirc f
O conteúdo usado será composição de funções e igualdade de polinômios (igualdade para todo x impõe igualdade de coeficientes).

Passo 2

Calculemos primeiro fcirc g. Por definição
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =fl(c,x + dr) =a,(c,x + d) + b = a,c,x ;+; a,d + b

Passo 3

Agora calculemos gcirc f. Temos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =gl(a,x + br) =c,(a,x + b) + d = a,c,x ;+; b,c + d

Passo 4

Para que fcirc g e gcirc f sejam idênticas, seus coeficientes de x e termos constantes devem coincidir.
  • Coeficiente de x: a,c = a,c (sempre satisfeito).
  • Termo constante:
a,d + b = b,c + d
Reorganizando,
a,d - d = b,c - b Longrightarrow (a-1),d = (c-1),b

Resposta

A condição necessária e suficiente para fcirc g = gcirc f é
(a-1),d = (c-1),b,
ou, equivalentemente,
a,d + b = b,c + d

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