Obtenha a função inversa das seguintes funções:
f: A R-, em que A=x in R mid x <=-1
f(x)=-(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a inversa de fcolon AtoR-, onde
A = ,xinRmid x<= -1
e
f(x) = -(x+1)^2
Para obter f^-1, precisamos (1) determinar a imagem de f e (2) resolver algebricamente a equação y = f(x), escolhendo o ramo correto da raiz em função de A.

Passo 2

Como (x+1)^2>= 0 para todo x, segue
f(x) = -(x+1)^2<= 0
Logo a imagem de f é
,yinRmid y<= 0,
que será o domínio de f^-1.

Passo 3

Partimos de
y = -(x+1)^2
para inverter. Reescrevendo,
(x+1)^2 = -,y
Em A temos x<= -1, logo x+1<= 0, o que nos obriga a tomar o sinal negativo na raiz:
x+1 = -raiz-y Longrightarrow x = -1 - raiz-y
Portanto a inversa é
f^-1(y) = -1 - raiz-y, y<= 0

Resposta

f^-1(y) = -1 - raiz-y, y<= 0

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