Classifique as funções seguintes em:
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é sobrejetora nem injetora
r:
tal qu
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é sobrejetora nem injetora
r:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função
em injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhum dos dois. Vamos usar as definições de injetividade (valores distintos de
dão imagem distinta) e sobrejetividade (cada valor em
é atingido por algum
).
Passo 2
Para testar injetividade, basta encontrar
tais que
. Note que
Como
mas
, concluímos que
não é injetora.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, escrevemos
em forma de pedaços:
- Se , então
e
- Se
- Se
, então
e
Cada expressão é uma parábola: para
, o mínimo ocorre em
dando
, e
quando
; para
, a parábola é côncava para baixo e atinge
no limite, caindo para
quando
.
Passo 4
A imagem no ramo
é
, e no ramo
é
. Juntando, a imagem de
é
pois todo real fica em um dos dois intervalos. Logo
é sobrejetora.
Resposta
II) sobrejetora