Classifique as funções seguintes em:
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é sobrejetora nem injetora
r: R R tal qu
r(x)=|x| cdot(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
;rcolon RtoR, r(x)=|x|,(x-1)
em injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhum dos dois. Vamos usar as definições de injetividade (valores distintos de x dão imagem distinta) e sobrejetividade (cada valor em R é atingido por algum x).

Passo 2

Para testar injetividade, basta encontrar x1neq x2 tais que r(x1)=r(x2). Note que
;r(0)=|0|,(0-1)=0e r(1)=|1|,(1-1)=0
Como 0neq1 mas r(0)=r(1), concluímos que r não é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, escrevemos r em forma de pedaços:
- Se x>=0, então |x|=x e
;r(x)=x,(x-1)=x^2-x
- Se x<0, então |x|=-x e
;r(x)=-x,(x-1)=-x^2+x
Cada expressão é uma parábola: para x>=0, o mínimo ocorre em x=tfrac12 dando r(tfrac12)=-tfrac14, e r(x)to+infty quando xto+infty; para x<0, a parábola é côncava para baixo e atinge r(0)=0 no limite, caindo para -infty quando xto-infty.

Passo 4

A imagem no ramo x<0 é (-infty,0), e no ramo x>=0 é [-tfrac14,infty). Juntando, a imagem de r é
(-infty,0);cup;[-tfrac14,infty);=;R,
pois todo real fica em um dos dois intervalos. Logo r é sobrejetora.

Resposta

II) sobrejetora

Exercícios de Livros Relacionados