Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa:
tal que
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
Precisamos mostrar que
é bijetora (injeção
sobrejeção) e encontrar sua inversa
.
Passo 2
Provar injeção. Suponha que
isto é,
Então
Mas o fator
é soma de termos não negativos e só pode ser zero se
, caso em que também
. Logo necessariamente
, ou seja,
. Assim,
é injetora.
Passo 3
Provar sobrejeção. Seja
. Queremos
tal que
Como todo número real
tem raiz quinta real, basta escolher
De fato
. Logo
é sobrejetora.
Passo 4
Concluímos que
é bijetora. A inversa
deve satisfazer
e
. Escolhemos
De fato, para todo
e todo
temos
e
.
Resposta
A função
dada por
é bijetora e