Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa:
h: R R tal que h(x)=x^5

Passo 1

O enunciado define a função
hcolon RtoR dada por
h(x)=x^5
Precisamos mostrar que h é bijetora (injeção + sobrejeção) e encontrar sua inversa h^-1.

Passo 2

Provar injeção. Suponha que
h(x1)=h(x2),
isto é,
x1^5 = x2^5
Então
x1^5 - x2^5 = 0 Longrightarrow (x1 - x2)l(x1^4 + x1^3x2 + x1^2x2^2 + x1x2^3 + x2^4r)=0
Mas o fator
x1^4 + x1^3x2 + x1^2x2^2 + x1x2^3 + x2^4
é soma de termos não negativos e só pode ser zero se x1=x2=0, caso em que também x1 - x2=0. Logo necessariamente x1 - x2 = 0, ou seja, x1=x2. Assim, h é injetora.

Passo 3

Provar sobrejeção. Seja yinR. Queremos xinR tal que
h(x)=y ;Long<=ftrightarrow; x^5 = y
Como todo número real y tem raiz quinta real, basta escolher
x = raiz[5]y
De fato l(raiz[5]yr)^5 = y. Logo h é sobrejetora.

Passo 4

Concluímos que h é bijetora. A inversa h^-1colonRtoR deve satisfazer
h^-1(h(x))=x e h(h^-1(y))=y. Escolhemos
h^-1(y) = raiz[5]y
De fato, para todo x e todo y temos
h^-1(x^5) = raiz[5]x^5=x e h(raiz[5]y)=(raiz[5]y)^5=y.

Resposta

A função hcolonRtoR dada por h(x)=x^5 é bijetora e
h^-1(y)=raiz[5]y

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