Se mdc(m, b, c)=1, prove que mdc(a, b, c)=mdc(m a, b, c), para qualquer a in Z.
Resoluçāo: Seja d=mdc(a, b, c). Obviamente d >= 0 e d |(m a), d| b e d|c. Seja r um divisor comum a ma, b e c e mostremos que mdc (r, m) =1. De fato, se s mid r e s mid m, então s|b, s| c e s mid m e daís = pm 1, devido à hipótese. Como r mid(ma), o fato de mdc(r, m)=1 implica r mid a. Logo, r mid a, r mid b e r mid c e portanto r mid d.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos inteiros m,a,b,c tais que
mdc(m,b,c)=1
e queremos mostrar que
mdc(a,b,c);=;mdc(m,a,b,c)
O que vamos usar são as propriedades básicas de divisão e do máximo divisor comum.

Passo 2

Seja
d = mdc(a,b,c)
Pelo definição de máximo divisor comum temos dmid a, dmid b e dmid c. Daí segue imediatamente
dmid(m,a), dmid b, dmid c,
ou seja, d é um divisor comum de (m,a,b,c). Logo
mdc(m,a,b,c);>=;d

Passo 3

Agora seja
D = mdc(m,a,b,c)
Então Dmid m,a, Dmid b e Dmid c. Vamos mostrar que Dmid a usando o fato de que mdc(m,b,c)=1.
Considere um divisor comum s de D e de m. Então smid D e smid m. Como Dmid b e Dmid c, temos também smid b e smid c. Logo s divide m,b,c simultaneamente, mas por hipótese mdc(m,b,c)=1, então s=pm1. Portanto
mdc(D,m)=1
Como Dmid m,a e mdc(D,m)=1, conclui-se que Dmid a. Além disso, já sabemos Dmid b e Dmid c. Logo D é divisor comum de (a,b,c), o que implica
mdc(a,b,c);>=;D

Passo 4

Juntando as duas desigualdades obtidas:
mdc(m,a,b,c);>=;d e mdc(a,b,c);>=;D,
com d=mdc(a,b,c) e D=mdc(m,a,b,c), segue que
d = D

Resposta

mdc(a,b,c)=mdc(m,a,b,c).

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