Se
, prove que
, para qualquer a
.
Resoluçāo: Seja
. Obviamente
e d
d|c. Seja r um divisor comum a ma, b e c e mostremos que mdc (r, m)
. De fato, se
e
, então
e
e daís
, devido à hipótese. Como
, o fato de
implica
. Logo,
,
e r
e portanto
.
Resoluçāo: Seja
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos inteiros
tais que
e queremos mostrar que
O que vamos usar são as propriedades básicas de divisão e do máximo divisor comum.
Passo 2
Seja
Pelo definição de máximo divisor comum temos
,
e
. Daí segue imediatamente
ou seja,
é um divisor comum de
. Logo
Passo 3
Agora seja
Então
,
e
. Vamos mostrar que
usando o fato de que
.
Considere um divisor comum
de
e de
. Então
e
. Como
e
, temos também
e
. Logo
divide
simultaneamente, mas por hipótese
, então
. Portanto
Como
e
, conclui-se que
. Além disso, já sabemos
e
. Logo
é divisor comum de
, o que implica
Passo 4
Juntando as duas desigualdades obtidas:
com
e
, segue que