Encontre os valores possíveis de bem mathbfZ de maneira que:
mmc(b, b+15)=180

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros b tais que
mmc(b,,b+15)=180
O conteúdo principal é a relação entre mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, junto com a propriedade de que gcd(b,b+15) divide 15.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer inteiros x,y, vale
mmc(x,y),cdot,gcd(x,y)=|x,y|
Aplicando a x=b e y=b+15, temos
|b(b+15)|gcd(b,b+15)=180

Passo 3

Defina g=gcd(b,b+15). Como g divide b+15 - b=15, segue
gin1,3,5,15
Escrevemos
b=gk, b+15=gm,
com gcd(k,m)=1 e m-k=15g. Além disso
mmc(b,b+15)=g,k,m=180

Passo 4

Da igualdade g,k,m=180 e m=k+tfrac15g obtemos
g,k!l(k+tfrac15gr)=180 Longrightarrow g,k^2+15,k-180=0
Vamos testar cada valor de g.

Passo 5

  1. g=1colon k^2+15k-180=0 não tem raízes inteiras.
  2. g=3colon 3k^2+15k-180=0iff k^2+5k-60=0 sem raízes inteiras.
  3. g=5colon 5k^2+15k-180=0iff k^2+3k-36=0 sem raízes inteiras.
  4. g=15colon 15k^2+15k-180=0iff k^2+k-12=0, cujas raízes são k=3ou k=-4
Para k=3 obtemos b=15cdot3=45 e m=3+1=4 com gcd(3,4)=1.
Para k=-4 obtemos b=15cdot(-4)=-60 e m=-4+1=-3 com gcd(-4,-3)=1.

Passo 6

Verificando:
mmc(45,60)=180, mmc(-60,-45)=mmc(60,45)=180
Se restringirmos a b>0, sobra b=45. Caso aceitemos todo Z, temos também b=-60.

Resposta

Os inteiros b que satisfazem mmc(b,b+15)=180 são
b=45e b=-60
Se considerarmos apenas b>0, então b=45.

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