Se p >= 5 é um número primo, prove que p^2+2 é um número composto.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se p é primo e p>=5, então o inteiro
p^2+2
não é primo, ou seja, é composto. O conteúdo principal que usaremos é aritmética modular, mostrando que p^2+2 é divisível por 3.

Passo 2

Como p é primo e p>=5, temos em particular pneq3. Logo, ao dividir p por 3, o resto só pode ser 1 ou 2. Em notação de congruências:
pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3

Passo 3

Em ambos os casos da congruência anterior, elevando ao quadrado obtemos
p^2equiv1^2equiv1pmod3 ou p^2equiv2^2equiv4equiv1pmod3
Portanto, de modo geral,
p^2equiv1pmod3

Passo 4

Somando 2 a ambos os lados da congruência, conclui-se
p^2+2equiv1+2equiv3equiv0pmod3
Isto significa que 3 divide p^2+2.

Passo 5

Finalmente, note que
p>=5Longrightarrow p^2+2>=5^2+2=27>3,
logo p^2+2 tem o divisor 3 estritamente entre 1 e ele próprio. Isso mostra que p^2+2 não é primo, mas sim composto.

Resposta

p^2+2 é composto, pois é divisível por 3 e maior que 3.

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