Se
é um número primo, prove que
é um número composto.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é primo e
, então o inteiro
não é primo, ou seja, é composto. O conteúdo principal que usaremos é aritmética modular, mostrando que
é divisível por 3.
Passo 2
Como
é primo e
, temos em particular
. Logo, ao dividir
por 3, o resto só pode ser 1 ou 2. Em notação de congruências:
Passo 3
Em ambos os casos da congruência anterior, elevando ao quadrado obtemos
Portanto, de modo geral,
Passo 4
Somando 2 a ambos os lados da congruência, conclui-se
Isto significa que 3 divide
.
Passo 5
Finalmente, note que
logo
tem o divisor 3 estritamente entre
e ele próprio. Isso mostra que
não é primo, mas sim composto.