Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores?
Passo 1
O enunciado diz que temos
economistas e
administradores e queremos formar comissões de
pessoas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores. O conteúdo que vamos usar é contagem de combinações e princípio da soma para casos mutuamente exclusivos.
Passo 2
Denotemos por
o número de administradores escolhidos na comissão. Como a comissão tem
pessoas e precisamos de pelo menos
administradores, temos
sujeito também a
(pois só há 6 administradores disponíveis). O restante
serão economistas.
Passo 3
Para cada valor fixo de
, o número de maneiras de escolher
administradores entre os
é
e o número de maneiras de escolher os
economistas entre os
é
Pelo princípio do produto, o total de comissões com exatamente
administradores é
Como os casos para diferentes
são mutuamente exclusivos, somamos para
:
Passo 4
Calculando termo a termo:
Passo 5
Somando todos os casos:
Resposta
O número total de comissões possíveis é
.