Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores?

Passo 1

O enunciado diz que temos 10 economistas e 6 administradores e queremos formar comissões de 6 pessoas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores. O conteúdo que vamos usar é contagem de combinações e princípio da soma para casos mutuamente exclusivos.

Passo 2

Denotemos por k o número de administradores escolhidos na comissão. Como a comissão tem 6 pessoas e precisamos de pelo menos 3 administradores, temos
3 <= k <= 6,
sujeito também a k <= 6 (pois só há 6 administradores disponíveis). O restante 6-k serão economistas.

Passo 3

Para cada valor fixo de k, o número de maneiras de escolher k administradores entre os 6 é
binom6k,
e o número de maneiras de escolher os 6-k economistas entre os 10 é
binom106-k
Pelo princípio do produto, o total de comissões com exatamente k administradores é
binom6k,binom106-k
Como os casos para diferentes k são mutuamente exclusivos, somamos para k=3,4,5,6:
sumk=3^6binom6k,binom106-k

Passo 4

Calculando termo a termo:
binom63binom103=20cdot120=2400,
binom64binom102=15cdot45=675,
binom65binom101=6cdot10=60,
binom66binom100=1cdot1=1

Passo 5

Somando todos os casos:
2400 + 675 + 60 + 1 = 3136

Resposta

O número total de comissões possíveis é 3136.

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