Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtêm permutando os algarismos
e 9 , que lugar ocupa o número 43892 ?
Passo 1
O enunciado pede a posição do número
na lista de todos os números formados com os dígitos
,
,
,
e
, dispostos em ordem crescente. O conteúdo aqui é ranking (posição) de uma permutação numérica em ordem lexicográfica. Vamos usar o fato de que, para cada dígito fixado numa posição, as permutações dos dígitos restantes são
, onde
é o número de posições ainda livres.
Passo 2
Começamos pelo primeiro dígito de
, que é
. Contamos quantos números começam com dígitos menores que
, ou seja, com
ou
. Para cada escolha (
ou
) há permutações dos outros
dígitos:
logo, há
números antes de qualquer número que comece com
.
Passo 3
Agora fixamos o primeiro dígito
e vamos ao segundo dígito, que é
. Entre os dígitos restantes
, só
é menor que
. Então, para prefixo
___ temos permutações dos
dígitos sobrando:
Somando a isso, já temos
números antes de começarem com
.
Passo 4
Com os dois primeiros dígitos
e
, olhamos o terceiro dígito, que é
. Os dígitos restantes são
; apenas
é menor que
. Para cada prefixo
__ permutam-se os
dígitos restantes em
maneiras. Total até agora:
números anteriores a qualquer
__.
Passo 5
Agora prefixo
__ e o quarto dígito é
. Restam
; só
é menor que
. Para prefixo
_ há
permutação. Soma parcial:
números anteriores ao
_.
Passo 6
Finalmente, com prefixo
_, só resta o dígito
, formando exatamente
. Esse é o próximo número, ou seja, ocupa a posição
na lista.