Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtêm permutando os algarismos 2,3,4,8 e 9 , que lugar ocupa o número 43892 ?

Passo 1

O enunciado pede a posição do número 43892 na lista de todos os números formados com os dígitos 2, 3, 4, 8 e 9, dispostos em ordem crescente. O conteúdo aqui é ranking (posição) de uma permutação numérica em ordem lexicográfica. Vamos usar o fato de que, para cada dígito fixado numa posição, as permutações dos dígitos restantes são k!, onde k é o número de posições ainda livres.

Passo 2

Começamos pelo primeiro dígito de 43892, que é 4. Contamos quantos números começam com dígitos menores que 4, ou seja, com 2 ou 3. Para cada escolha ( 2 ou 3) há permutações dos outros 4 dígitos:
2 times 4! ;=;2times24;=;48
logo, há 48 números antes de qualquer número que comece com 4.

Passo 3

Agora fixamos o primeiro dígito =4 e vamos ao segundo dígito, que é 3. Entre os dígitos restantes 2,3,8,9, só 2 é menor que 3. Então, para prefixo 42___ temos permutações dos 3 dígitos sobrando:
3! ;=;6
Somando a isso, já temos 48+6=54 números antes de começarem com 43.

Passo 4

Com os dois primeiros dígitos 4 e 3, olhamos o terceiro dígito, que é 8. Os dígitos restantes são 2,8,9; apenas 2 é menor que 8. Para cada prefixo 432__ permutam-se os 2 dígitos restantes em
2! ;=;2
maneiras. Total até agora: 54+2=56 números anteriores a qualquer 438__.

Passo 5

Agora prefixo 438__ e o quarto dígito é 9. Restam 2,9; só 2 é menor que 9. Para prefixo 4382_ há
1! ;=;1
permutação. Soma parcial: 56+1=57 números anteriores ao 4389_.

Passo 6

Finalmente, com prefixo 4389_, só resta o dígito 2, formando exatamente 43892. Esse é o próximo número, ou seja, ocupa a posição
57 + 1 ;=;58
na lista.

Resposta

58

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