(U.F. Ouro Preto-MG) Chamamos de sistema de juros contínuos ao tipo de aplicação na qual os juros são capitalizados a cada instante t. Nesse tipo de aplicação, um capital C, empregado a uma taxa de i % ao ano, depois de t anos, será transformado em C cdot e^(i cdot t100), onde e é um número irracional cujo valor aproximado é 2,71.
Com base nas informações anteriores, calcule, aproximadamente, quanto tempo será necessário para que seja dobrado um capital C aplicado a juros contínuos de 20% ao ano.
(Dado: log e 2 cong 0,69.)

Passo 1

O enunciado afirma que, em regime de juros contínuos à taxa de i% ao ano, um capital C aplicado por t anos torna-se
C ,e^(i,t100)
Queremos achar t tal que esse montante seja 2C para i=20%.

Passo 2

Para dobrar o capital, impomos
C ,e^(i,t100) = 2C
Dividindo ambos os lados por C, fica
e^(i,t100) = 2

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
i,t100 = ln(2)
Logo, isolando t,
t = 100,ln(2)i

Passo 4

Substituindo ln(2)approx0,69 e i=20, vem
t approx 100times0,6920 = 6920 = 3,45

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 3,45 anos.

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