(UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8 %, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4 %.
a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4 %, o governo poderia ter reduzido o imposto para x %. Admitindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8-x) % nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f(x), 0 <= x <= 8, e esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vamos chamar de p o preço de venda estipulado pela concessionária (antes de impostos) e de N o número de veículos vendidos inicialmente. O imposto original é de 8%, ou seja,
t1 = 8% = 0,08,
e o preço final ao consumidor é
P1 = p,(1 + t1) = 1,08,p
O imposto reduzido é de 4%,
t2 = 4% = 0,04,
logo o novo preço final é
P2 = p,(1 + t2) = 1,04,p
No item (a) queremos a queda percentual de P1 para P2 e verificar se isso depende de p.

Passo 2

A queda absoluta no preço final é
P1 - P2 = 1,08,p - 1,04,p = 0,04,p
A queda percentual relativa a P1 é
P1 - P2P1 = 0,04,p1,08,p = 0,041,08 approx 0,037037;(ou 3,7037%)
Note que p cancela, portanto a queda percentual não depende de p.

Passo 3

A receita de imposto original é
R1 = t1 ,p,N = 0,08,p,N
Com o imposto reduzido para 4% e aumento de vendas de 20%, o novo número de veículos é
N2 = 1,20,N
e a nova receita é
R2 = t2 ,p,N2 = 0,04,p,(1,20,N) = 0,048,p,N
A queda percentual da receita é
R1 - R2R1 = 0,08,p,N - 0,048,p,N0,08,p,N = 0,0320,08 = 0,4 ;(ou 40%)

Passo 4

Agora suponha imposto reduzido para x%, isto é
t = x100, 0 <= x <= 8
Aumenta-se as vendas em
5,(8 - x)% = 5,(8 - x)100,
logo o fator de crescimento de N é
1 + 5,(8 - x)100 = 140 - 5x100
A receita passa a ser
R(x) = t,p,N;140 - 5x100 = x100,p,N;140 - 5x100
Se chamarmos de R1 a receita original em x=8, isto é R1 = 0,08,p,N, então a fração f(x) arrecadada em relação a R1 vale
f(x) = R(x)R1 = x100,(140 -5x),/1000,08 = 140x - 5x^2800 = x,(28 - x)160
No domínio 0<= x<= 8, essa é uma parábola côncava para baixo, com zeros em x=0 e x=28, mas restrita a [0,8] ela cresce de f(0)=0 até f(8)=1.

Resposta

(a) A queda percentual no preço final é de aproximadamente 3,7037%, e não depende do preço de venda p.
(b) A receita do governo cai 40%.
(c)
f(x) = x,(28 - x)160, 0 <= x <= 8,
é uma parábola côncava para baixo, iniciando em f(0)=0 e atingindo f(8)=1, e cresce monoticamente nesse intervalo.

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