Uma partícula com massa m desliza ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função z=f(x).
Se \mathbf{X}_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right) for um ponto crítico do sistema autônomo plano associado à partícula deslizante, verifique que a matriz Jacobiana em \mathbf{X}_{1} é
O enunciado trata de um sistema autônomo plano que descreve a posição x(t) de uma partícula de massa m que escorrega sem deixar o fio de perfil z=f(x), sujeita à gravidade g e à força de atrito viscoso -\beta\,\dot x. O conteúdo necessário é:
escrever a equação de movimento ao longo da tangente ao fio;
converter em sistema de primeira ordem \dot x=y,\;\dot y=\dots;
calcular o Jacobiano \mathbf g'(\mathbf X) por derivadas parciais e avaliá-lo num ponto crítico \mathbf X_1=(x_1,y_1).
Passo 2
A componente tangencial da gravidade ao longo do fio é
F_{\rm grav}=-m g\,\frac{f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}}
e o atrito é -\beta\,\dot x. Como \dot x=y, a segunda lei de Newton dá
m\,\ddot x = -m g\,\frac{f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}} \;-\;\beta\,y.