O ponto P(3, m) é interno a um dos lados do triângulo A(1,2), B(3,1) e C(5,-4). Determine m.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A(1,2), B(3,1) e C(5,-4) e diz que P(3,m) é ponto interno a um dos lados. Isso significa que P deve satisfazer a equação de reta de algum segmento de vértice a vértice, com parâmetro t em (0,1), e não coincidir com nenhum extremo.

Passo 2

Verificamos o lado AB. A reta que passa por A e B tem coeficiente angular
mAB = 1-23-1 = -tfrac12,
logo sua equação é
y - 2 = -tfrac12,(x-1)
Para x=3 temos
y - 2 = -tfrac12cdot2 implies y=1,
que é exatamente o ponto B. Assim, não há ponto interior em AB com x=3 além de B (que corresponderia a t=1).

Passo 3

Verificamos o lado BC. O coeficiente angular é
mBC = -4-15-3 = -tfrac52,
e a reta é
y - 1 = -tfrac52,(x-3)
Para x=3 obtemos y=1, que é novamente o ponto B ( t=0 ou t=1). Logo não surge ponto interior diferente de B.

Passo 4

Verificamos o lado CA. O coeficiente angular é
mCA = 2 - (-4)1-5 = -tfrac32,
com equação
y + 4 = -tfrac32,(x-5)
Para x=3 vem
y + 4 = -tfrac32cdot(-2) = 3 Longrightarrow y = -1
Nesse caso x varia de 5 até 1 quando o parâmetro t vai de 0 até 1, e x=3 corresponde a t=0,5, ou seja ponto interno.

Resposta

m = -1

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