Uma população de organismos se expande ao longo de uma linha unidimensional de acordo com a equação diferencial parcial
Mostre que a função
é uma solução dessa equação diferencial parcial, em que
é a população de organismos em
no instante
.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar que a função
satisfaz à equação de reação-difusão unidimensional
O método é o de substituição direta: vamos calcular
e
e conferir que, ao combiná-las, obtemos exatamente o lado direito da PDE.
Passo 2
Defina
de modo que
.
- Calculamos
:
- Calculamos
:
- Usando a regra do produto e da cadeia,
Passo 3
Agora
:
-
. -
. - Novamente aplicando derivação em
,
Multiplicando por
e somando
,
Passo 4
Comparando
com
vemos que são idênticas. Portanto, a função dada satisfaz a equação
.
Resposta
A função
é de fato solução da equação diferencial parcial
.