Uma população de organismos se expande ao longo de uma linha unidimensional de acordo com a equação diferencial parcial
\frac{{\partial N}}{{\partial t}}=D \frac{{\partial^{{2}} N}}{{\partial x^{{2}}}}+r N
Mostre que a função N(x, t)=\frac{M}{2 \sqrt{\pi D t}} e^{{r t-\left(x^{{2}} / 4 D t\right)}} é uma solução dessa equação diferencial parcial, em que M é a população de organismos em x=0 no instante t=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que a função
N(x,t)=\frac{M}{2\sqrt{\pi D\,t}}\;e^{\,r t-\frac{x^{2}}{4Dt}}
satisfaz à equação de reação-difusão unidimensional
\frac{\partial N}{\partial t} = D\,\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}}+r\,N.
O método é o de substituição direta: vamos calcular \partial N/\partial t e \partial^{2}N/\partial x^{2} e conferir que, ao combiná-las, obtemos exatamente o lado direito da PDE.

Passo 2

Defina
A(t)=\frac{M}{2\sqrt{\pi D\,t}}, \quad B(x,t)=r\,t-\frac{x^{2}}{4D\,t},
de modo que N=A(t)\,e^{B(x,t)}.
  1. Calculamos A'(t):
A'(t) =-\frac12\,\frac{M}{2\sqrt{\pi D}}\;t^{-3/2} =-\frac{1}{2t}\,A(t).
  1. Calculamos \partial B/\partial t:
\frac{\partial B}{\partial t} =r \;+\;\frac{x^{2}}{4D\,t^{2}}.
  1. Usando a regra do produto e da cadeia,
\frac{\partial N}{\partial t} =A'\,e^{B}+A\,e^{B}\,\frac{\partial B}{\partial t} =A\,e^{B}\Bigl(-\tfrac1{2t}+r+\tfrac{x^{2}}{4D\,t^{2}}\Bigr).

Passo 3

Agora \partial^{2}N/\partial x^{2}:
  1. \partial B/\partial x = -\,\tfrac{x}{2D\,t}.
  2. \partial N/\partial x = A\,e^{B}\bigl(-\tfrac{x}{2D\,t}\bigr).
  3. Novamente aplicando derivação em x,
\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}} =A\,e^{B}\Bigl(-\tfrac1{2D\,t}+\tfrac{x^{2}}{4D^{2}t^{2}}\Bigr).
Multiplicando por D e somando rN,
D\,\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}}+r\,N =A\,e^{B}\Bigl(-\tfrac1{2t}+\tfrac{x^{2}}{4D\,t^{2}}+r\Bigr).

Passo 4

Comparando
\frac{\partial N}{\partial t} =A\,e^{B}\Bigl(-\tfrac1{2t}+r+\tfrac{x^{2}}{4D\,t^{2}}\Bigr)
com
D\,\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}}+r\,N =A\,e^{B}\Bigl(-\tfrac1{2t}+\tfrac{x^{2}}{4D\,t^{2}}+r\Bigr),
vemos que são idênticas. Portanto, a função dada satisfaz a equação
\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t}=D\,\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}}+r\,N.

Resposta

A função
N(x,t)=\frac{M}{2\sqrt{\pi D\,t}}\;e^{\,r t-\frac{x^{2}}{4Dt}}
é de fato solução da equação diferencial parcial \displaystyle \frac{\partial N}{\partial t}=D\,\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}}+r\,N.

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