Um prisma quadrangular regular de 12 raiz2 m^2 de área lateral está inscrito num octaedro regular de 32 raiz3 m^2 de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices pertencem a arestas de octaedro.

Passo 1

O enunciado dá um octaedro regular de área total ,32raiz3 e um prisma de base quadrada (prisma quadrangular regular) inscrito nesse octaedro, cuja área lateral é 12raiz2. O objetivo é achar o volume do prisma usando:
– Para o octaedro, fórmula da área total em função da aresta.
– Para o prisma, área lateral = perímetro da basetimesa<uraí e V=área da basetimesa<uraá.

Passo 2

Cada face do octaedro é um triângulo equilátero de área tfraca^2raiz34, e há 8 faces, então
8cdota^2raiz34=2a^2raiz3=32raiz3 Longrightarrow a^2=16 Longrightarrow a=4

Passo 3

Podemos coordenar o octaedro centrado na origem por
|x|+|y|+|z|<= d,
cujos vértices são (pm d,0,0),(0,pm d,0),(0,0,pm d). A aresta entre (d,0,0) e (0,d,0) vale a=4, logo
raizd^2+d^2=4Longrightarrow draiz2=4 Longrightarrow d=2raiz2

Passo 4

A interseção do plano z=z0 com o octaedro é o conjunto
|x|+|y|<= d-|z0|=2raiz2 - |z0|,
que é um losango com vértices l(pm(2raiz2-|z0|),0r) e l(0,pm(2raiz2-|z0|)r). Esse losango é um quadrado girado, de lado
s=raizl(2raiz2 - |z0|r)^2+l(2raiz2 - |z0|r)^2 =(2raiz2 - |z0|)raiz2 =4-raiz2,|z0|

Passo 5

O prisma inscrito tem base nos planos z=+z0 e z=-z0, lado da base s=4-raiz2,z0 e altura h=2z0. A área lateral é
4scdot h =4l(4-raiz2,z0r),(2z0) =8z0,(4-raiz2,z0)
e deve valer 12raiz2. Logo
8z0,(4-raiz2,z0)=12raiz2 Long<=ftrightarrow 2raiz2,z0^2-8z0+3raiz2=0

Passo 6

Resolvendo
2raiz2,z0^2-8z0+3raiz2=0 Longrightarrow z0=4raiz2pmraiz32-244 =4raiz2pm2raiz24
resulta em z0=tfracraiz22 ou z0=tfrac3raiz22.
Para z0=tfracraiz22 temos
s=4-raiz2cdotraiz22=4-1=3, h=2z0=raiz2
A outra solução dá s=1 e h=3raiz2, que gera volume menor.

Passo 7

Escolhendo s=3 e h=raiz2, o volume do prisma é
V =l(área da baser)times h =s^2cdot h =3^2cdotraiz2 =9raiz2 á

Resposta

O volume do prisma é 9raiz2,m^3.

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