Um prisma quadrangular regular de
de área lateral está inscrito num octaedro regular de
de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices pertencem a arestas de octaedro.
Passo 1
O enunciado dá um octaedro regular de área total
e um prisma de base quadrada (prisma quadrangular regular) inscrito nesse octaedro, cuja área lateral é
. O objetivo é achar o volume do prisma usando:
– Para o octaedro, fórmula da área total em função da aresta.
– Para o prisma, área lateral e
.
– Para o octaedro, fórmula da área total em função da aresta.
– Para o prisma, área lateral
Passo 2
Cada face do octaedro é um triângulo equilátero de área
, e há
faces, então
Passo 3
Podemos coordenar o octaedro centrado na origem por
cujos vértices são
. A aresta entre
e
vale
, logo
Passo 4
A interseção do plano
com o octaedro é o conjunto
que é um losango com vértices
e
. Esse losango é um quadrado girado, de lado
Passo 5
O prisma inscrito tem base nos planos
e
, lado da base
e altura
. A área lateral é
e deve valer
. Logo
Passo 6
Resolvendo
resulta em
ou
.
Para temos
Para
A outra solução dá
e
, que gera volume menor.
Passo 7
Escolhendo
e
, o volume do prisma é
Resposta
O volume do prisma é
.