Determine o volume compreendido entre uma esfera de raio r e um octaedro regular inscrito nessa esfera.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região compreendida entre uma esfera de raio r e um octaedro regular inscrito nela. O conteúdo principal é cálculo de volumes de sólidos: vamos usar a fórmula do volume da esfera e do volume de um octaedro regular inscrito na esfera.

Passo 2

O volume de uma esfera de raio r é dado por
Vesfera = 43,pi,r^3

Passo 3

Para o octaedro regular inscrito, escolhemos os vértices em
(pm r,0,0), (0,pm r,0) e (0,0,pm r).
Esse octaedro pode ser visto como duas pirâmides cujas bases são quadrados no plano z=0 e vértices em z=+r e z=-r.
  • A base é o quadrado com vértices (pm r,0,0) e (0,pm r,0), cujo lado vale
raizr^2+r^2 = rraiz2,
logo a área da base é
(rraiz2)^2 = 2,r^2
  • A altura de cada pirâmide é r.
  • Assim, o volume de uma pirâmide é
13times (área da base) times (a<ura) = 13times 2,r^2times r = 23,r^3 á
Como há duas pirâmides,
Voctaedro = 2times 23,r^3 = 43,r^3

Passo 4

O volume da região entre a esfera e o octaedro é a diferença
V = Vesfera - Voctaedro = 43,pi,r^3 ;-; 43,r^3 = 43,r^3,(pi - 1)

Resposta

V = 43,r^3,(pi - 1)

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