Determine o volume compreendido entre uma esfera de raio
e um octaedro regular inscrito nessa esfera.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região compreendida entre uma esfera de raio
e um octaedro regular inscrito nela. O conteúdo principal é cálculo de volumes de sólidos: vamos usar a fórmula do volume da esfera e do volume de um octaedro regular inscrito na esfera.
Passo 2
O volume de uma esfera de raio
é dado por
Passo 3
Para o octaedro regular inscrito, escolhemos os vértices em
,
e
.
Esse octaedro pode ser visto como duas pirâmides cujas bases são quadrados no plano e vértices em
e
.
Esse octaedro pode ser visto como duas pirâmides cujas bases são quadrados no plano
- A base é o quadrado com vértices
e , cujo lado vale
logo a área da base é
- A altura de cada pirâmide é
. - Assim, o volume de uma pirâmide é
Como há duas pirâmides,
Passo 4
O volume da região entre a esfera e o octaedro é a diferença