Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as áreas laterais desses dois sólidos?

Passo 1

O enunciado diz que temos um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado a e altura H, e dentro desse prisma inscreve-se um cilindro que toca as três faces laterais do prisma. O conteúdo aqui é comparar as áreas laterais desses sólidos, sabendo que:
– A área lateral do prisma é o perímetro da base vezes a altura.
– A área lateral do cilindro é a circunferência da base vezes a altura.

Passo 2

Denotemos por Alat,p a área lateral do prisma e por Alat,c a área lateral do cilindro. Temos então:
Alat,p = (perímetro do triângulo)times H = 3a,H, íâ
Alat,c = (circunferência da base)times H = 2pi r,H, ê
em que r é o raio do círculo inscrito no triângulo.

Passo 3

Em um triângulo equilátero de lado a, o raio do círculo inscrito (in\mbox{-}radio) vale
r = araiz36
Logo, substituindo em Alat,c,
Alat,c = 2pi ,araiz36,H = pi araiz33,H

Passo 4

Para achar a relação entre as áreas laterais, formamos a razão
Alat,pAlat,c = 3a,Hpi araiz33,H = 3api araiz33 = 9piraiz3 = 3raiz3pi

Resposta

Alat(prisma)Alat(cilindro) = 3raiz3pi

Exercícios de Livros Relacionados