Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as áreas laterais desses dois sólidos?
Passo 1
O enunciado diz que temos um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado
e altura
, e dentro desse prisma inscreve-se um cilindro que toca as três faces laterais do prisma. O conteúdo aqui é comparar as áreas laterais desses sólidos, sabendo que:
– A área lateral do prisma é o perímetro da base vezes a altura.
– A área lateral do cilindro é a circunferência da base vezes a altura.
– A área lateral do prisma é o perímetro da base vezes a altura.
– A área lateral do cilindro é a circunferência da base vezes a altura.
Passo 2
Denotemos por
a área lateral do prisma e por
a área lateral do cilindro. Temos então:
em que
é o raio do círculo inscrito no triângulo.
Passo 3
Em um triângulo equilátero de lado
, o raio do círculo inscrito (in\mbox{-}radio) vale
Logo, substituindo em
,
Passo 4
Para achar a relação entre as áreas laterais, formamos a razão