Calcule a área da superfície da esfera circunscrita a um tetraedro regular de aresta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície da esfera que passa pelos quatro vértices de um tetraedro regular de aresta
.
Para isso, precisamos ( ) determinar o raio de tal esfera — chamado de raio circunscrito
— e (
) usar a fórmula da área de superfície de uma esfera, que é
.
Para isso, precisamos (
Passo 2
Vamos achar o raio circunscrito
via posições do centroide do tetraedro. Em um tetraedro regular de aresta
:
- A base é um triângulo equilátero de lado
. O centro (baricentro) desse triângulo fica a uma distância
de cada vértice da base.
- A altura
do tetraedro (distância do vértice superior ao plano da base) satisfaz
Passo 3
O centroide do tetraedro fica ao longo da altura a
de distância do vértice até a base. Logo, a distância do centroide a um vértice é
Passo 4
Aplicando a fórmula da área de superfície de uma esfera de raio
: