Calcule a área da superfície da esfera circunscrita a um tetraedro regular de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície da esfera que passa pelos quatro vértices de um tetraedro regular de aresta a.
Para isso, precisamos ( 1) determinar o raio de tal esfera — chamado de raio circunscrito R — e ( 2) usar a fórmula da área de superfície de uma esfera, que é 4pi R^2.

Passo 2

Vamos achar o raio circunscrito R via posições do centroide do tetraedro. Em um tetraedro regular de aresta a:
  • A base é um triângulo equilátero de lado a. O centro (baricentro) desse triângulo fica a uma distância
dtri = araiz33
de cada vértice da base.
  • A altura h do tetraedro (distância do vértice superior ao plano da base) satisfaz
h = raiza^2 - l(dtrir)^2 = raiza^2 - a^23 = araiztfrac23

Passo 3

O centroide do tetraedro fica ao longo da altura a 3/4 de distância do vértice até a base. Logo, a distância do centroide a um vértice é
R = 34,h = 34,araiztfrac23 = araiz64

Passo 4

Aplicando a fórmula da área de superfície de uma esfera de raio R:
Área = 4pi R^2 = 4pil(araiz64r)^2 = 4pi,6a^216 = 3pi a^22 Á

Resposta

Área = 3pi a^22 Á

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