Dado um cubo de aresta igual a ell, considera-se o octaedro que tem por vértices os centros das faces do cubo. Calcule a área da superfície esférica inscrita no octaedro.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta ell e pede a área da esfera que cabe dentro do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo. Em outras palavras, precisamos encontrar o raio r da esfera inscrita (aquela que toca cada face do octaedro) e calcular a área 4pi r^2.

Passo 2

Vamos colocar o cubo centrado na origem e alinhar as arestas aos eixos. Então os centros das faces ficam em
(pmtfracell2,0,0), (0,pmtfracell2,0), (0,0,pmtfracell2)
Denotemos a=tfracell2. O octaedro é regular e centrado na origem, logo o raio da esfera inscrita é a distância do centro até qualquer face.

Passo 3

Escolhemos uma face cujos vértices são (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a). A equação do plano dessa face é
x+y+z = a
A distância do ponto (0,0,0) a esse plano é
r = l|0+0+0 - ar|raiz1^2+1^2+1^2 = araiz3 = ell/2raiz3 = ell2raiz3

Passo 4

A área da superfície da esfera inscrita vale
4pi r^2 = 4pi gl(ell2raiz3gr)^2 = 4pi ,ell^24cdot3 = pi,ell^23

Resposta

pi,ell^23

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