Dado um cubo de aresta igual a
, considera-se o octaedro que tem por vértices os centros das faces do cubo. Calcule a área da superfície esférica inscrita no octaedro.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
e pede a área da esfera que cabe dentro do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo. Em outras palavras, precisamos encontrar o raio
da esfera inscrita (aquela que toca cada face do octaedro) e calcular a área
.
Passo 2
Vamos colocar o cubo centrado na origem e alinhar as arestas aos eixos. Então os centros das faces ficam em
Denotemos
. O octaedro é regular e centrado na origem, logo o raio da esfera inscrita é a distância do centro até qualquer face.
Passo 3
Escolhemos uma face cujos vértices são
,
e
. A equação do plano dessa face é
A distância do ponto
a esse plano é
Passo 4
A área da superfície da esfera inscrita vale