Qual é a probabilidade de uma mão de bridge com 13 cartas conter
quatro cartas de um mesmo naipe, seis cartas de um segundo naipe, duas cartas de um terceiro naipe e uma carta de um quarto naipe?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher 13 cartas de um baralho de 52, obter exatamente quatro cartas de um naipe, seis de outro, duas de um terceiro e uma de um quarto. O conteúdo é contagem combinatória: vamos precisar do número total de mãos possíveis e do número de mãos favoráveis a essa configuração de naipes.

Passo 2

O número total de mãos de 13 cartas, sem restrição, é dado por
\binom{52}{13}.

Passo 3

Para formar a mão desejada, primeiro escolhemos qual naipe terá 6 cartas, qual terá 4, qual terá 2 e qual terá 1. Como há 4 naipes distintos, isso pode ser feito de 4! maneiras.

Passo 4

Feita essa atribuição de quantidades aos naipes, contamos quantas formas há de escolher as cartas dentro de cada naipe:
  • do naipe de 6 cartas há \binom{13}{6} escolhas,
  • do naipe de 4 cartas há \binom{13}{4} escolhas,
  • do naipe de 2 cartas há \binom{13}{2} escolhas,
  • do naipe de 1 carta há \binom{13}{1} escolhas.
    Multiplicamos todas essas quantidades.

Passo 5

O número de mãos favoráveis é, portanto,
4!\,\binom{13}{6}\,\binom{13}{4}\,\binom{13}{2}\,\binom{13}{1}.

Passo 6

A probabilidade pedida é a razão entre o número de mãos favoráveis e o número total de mãos:
P = \frac{4!\,\binom{13}{6}\,\binom{13}{4}\,\binom{13}{2}\,\binom{13}{1}}{\binom{52}{13}}.

Resposta

P = \frac{24\;\binom{13}{6}\,\binom{13}{4}\,\binom{13}{2}\,\binom{13}{1}}{\binom{52}{13}} \approx 0,0470.

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