Qual é a probabilidade de uma mão de pôquer com sete cartas conter
quatro cartas de um tipo e três cartas de outro?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher uma mão de pôquer de sete cartas, termos exatamente quatro cartas de um mesmo valor e exatamente três cartas de outro valor. O conteúdo usado será contagem por combinações: número de mãos favoráveis dividido pelo número total de mãos possíveis.

Passo 2

Calculamos o número total de mãos de sete cartas distintas do baralho de 52 cartas. Isso é dado por
\binom{52}{7}\,.

Passo 3

Agora contamos as mãos que têm exatamente uma quadra (4 cartas do mesmo valor) e exatamente uma trinca (3 cartas de outro valor).
  1. Escolher o valor da quadra: \binom{13}{1}.
  2. Escolher as 4 naipes desse valor: \binom{4}{4}=1.
  3. Escolher o valor da trinca dentre os 12 valores restantes: \binom{12}{1}.
  4. Escolher 3 naipes desse segundo valor: \binom{4}{3}.
    Portanto, o total de mãos favoráveis é
\binom{13}{1}\cdot 1 \cdot \binom{12}{1}\cdot \binom{4}{3} =13 \times 12 \times 4 =624.

Passo 4

A probabilidade pedida é
\frac{624}{\binom{52}{7}}.
Numericamente, como \binom{52}{7}=133\,784\,560, temos
\frac{624}{133\,784\,560}\approx 4,66\times 10^{-6}.

Resposta

\frac{624}{\binom{52}{7}}\approx 4,66\times 10^{-6}.

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