Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \sqrt{4 x-1} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{4x - 1}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma raiz quadrada de uma função linear em x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x - 1.
Derivando,
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo em \int \sqrt{4x-1}\,dx obtemos
\int \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\,\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integramos u^{1/2}:
\frac{1}{4}\,\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} + C = \frac{1}{6}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 4x-1 e achamos
\int \sqrt{4x-1}\,dx = \frac{1}{6}\,(4x-1)^{3/2} + C.

Passo 6

Para verificar, derivamos o resultado:
\frac{d}{dx}\!\biggl[\frac{1}{6}(4x-1)^{3/2}\biggr] = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}(4x-1)^{1/2}\cdot 4 = (4x-1)^{1/2},
o que coincide com o integrando \sqrt{4x-1}. Portanto, está correto.

Resposta

\int \sqrt{4x-1}\,dx = \frac{1}{6}\,(4x-1)^{3/2} + C.

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