Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{y^{2}}{\left(y^{3}+5\right)^{2}} d y

Passo 1

Vamos calcular a integral
\displaystyle \int \frac{y^{2}}{(y^{3}+5)^{2}}\,dy.
O conteúdo principal aqui é usar substituição do tipo u-sub para simplificar a integral e, em seguida, verificar o resultado derivando a primitiva obtida.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = y^{3} + 5,
logo
du = 3\,y^{2}\,dy \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\,dy = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{y^{2}}{(y^{3}+5)^{2}}\,dy = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int u^{-2}\,du usamos a regra de potências:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{3}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{3}\,u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável y, basta substituir u = y^{3}+5:
u^{-1} = \frac{1}{y^{3}+5},
logo a primitiva é
-\frac{1}{3}\,\frac{1}{y^{3}+5} + C = -\frac{1}{3(y^{3}+5)} + C.

Passo 6

Para confirmar, derivamos
F(y) = -\frac{1}{3(y^{3}+5)}.
Aplicando a regra da cadeia:
F'(y) = -\frac{1}{3}\cdot(-1)\,(y^{3}+5)^{-2}\cdot(3y^{2}) = \frac{y^{2}}{(y^{3}+5)^{2}},
que é exatamente o integrando.

Resposta

\int \frac{y^{2}}{(y^{3}+5)^{2}}\,dy = -\frac{1}{3(y^{3}+5)} + C.

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