Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{1}{3 x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\displaystyle \int \frac{1}{3x+5}\,dx.
Trata-se de uma função racional de primeiro grau no denominador, e a técnica mais direta é usar substituição para reduzir a um caso de \int u^{-1}du.

Passo 2

Fazendo
u = 3x + 5,
temos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral,
\int \frac{1}{3x+5}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 3

Sabemos que
\displaystyle \int u^{-1}du = \ln\lvert u\rvert + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\,\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{3}\,\ln\lvert 3x+5\rvert + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos
\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}\ln\lvert 3x+5\rvert + C:
F'(x) = \frac{1}{3}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert 3x+5\rvert\bigr) = \frac{1}{3}\,\frac{3}{3x+5} = \frac{1}{3x+5},
que é exatamente o integrando original. Portanto, o resultado está correto.

Resposta

\frac{1}{3}\,\ln\lvert 3x+5\rvert + C

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