Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{3 x^{4}+12 x^{3}+6}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x^{4} + 12x^{3} + 6}{x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12}\,dx
Isso é um problema de integração de função racional onde costuma dar certo usar substituição quando o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Calcule a derivada do denominador
D(x) = x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12,
então
D'(x) = 5x^{4} + 20x^{3} + 10.
Note que o numerador é
3x^{4} + 12x^{3} + 6 = \frac{3}{5}\,(5x^{4} + 20x^{3} + 10) = \frac{3}{5}D'(x).

Passo 3

Faça a substituição
u = D(x) = x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12,
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du = D'(x)\,dx = \bigl(5x^{4} + 20x^{3} + 10\bigr)\,dx
e o numerador mais dx fica
(3x^{4} + 12x^{3} + 6)\,dx = \frac{3}{5}\,du.
Assim a integral vira
\int \frac{3x^{4} + 12x^{3} + 6}{x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12}\,dx = \int \frac{\frac{3}{5}\,du}{u}.

Passo 4

A integral em u é
\int \frac{3}{5}\,\frac{du}{u} = \frac{3}{5}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{5}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Retornando à variável x,
\boxed{\int \frac{3x^{4} + 12x^{3} + 6}{x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12}\,dx = \frac{3}{5}\ln\bigl|x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12\bigr| + C.}

Passo 6

Verificação por derivação:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}\ln\bigl|x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12\bigr|\right) = \frac{3}{5}\,\frac{1}{x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12}\,(5x^{4} + 20x^{3} + 10) = \frac{3x^{4} + 12x^{3} + 6}{x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12}.
Portanto, o resultado está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}\ln\bigl|x^{5} + 5x^{4} + 10x + 12\bigr| + C

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