Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{6 u-3}{4 u^{2}-4 u+1} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6u - 3}{4u^2 - 4u + 1}\,du
e depois verificar se o resultado está correto derivando-o. O conteúdo envolve integração por substituição e aplicação da regra da cadeia na verificação.

Passo 2

Note que a derivada do denominador é
\frac{d}{du}\bigl(4u^2 - 4u + 1\bigr) = 8u - 4 = 2(4u - 2).
Podemos escrever o numerador 6u - 3 como múltiplo de 8u - 4:
6u - 3 = \tfrac{3}{4}\,(8u - 4).

Passo 3

Fazendo a substituição
t = 4u^2 - 4u + 1, \quad dt = (8u - 4)\,du,
temos
\int \frac{6u - 3}{4u^2 - 4u + 1}\,du = \int \frac{\tfrac{3}{4}(8u - 4)}{t}\,du = \frac{3}{4}\int \frac{1}{t}\,dt = \frac{3}{4}\,\ln\lvert t\rvert + C.

Passo 4

Voltando para a variável u,
\int \frac{6u - 3}{4u^2 - 4u + 1}\,du = \frac{3}{4}\,\ln\bigl\lvert 4u^2 - 4u + 1\bigr\rvert + C.

Passo 5

Verificamos derivando
F(u) = \frac{3}{4}\ln\bigl(4u^2 - 4u + 1\bigr).
Pela regra da cadeia,
F'(u) = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4u^2 - 4u + 1}\cdot (8u - 4) = \frac{3(8u - 4)}{4(4u^2 - 4u + 1)} = \frac{6u - 3}{4u^2 - 4u + 1},
que é exatamente o integrando. Logo, o resultado está correto.

Resposta

\frac{3}{4}\,\ln\bigl\lvert 4u^2 - 4u + 1\bigr\rvert + C

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