Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int(x+1)\left(x^{2}+2 x+5\right)^{12} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int (x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12}\,dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição simples (substituir uma expressão polinomial por uma nova variável), pois vemos que a derivada de x^{2}+2x+5 é proporcional a x+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 2x + 5.
Então
\frac{du}{dx} = 2x + 2 = 2(x+1) \quad\Longrightarrow\quad (x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int (x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12}\,dx = \int u^{12}\,\bigl((x+1)\,dx\bigr) = \int u^{12}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{12}\,du.
Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{12}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{u^{13}}{13} + C = \frac{u^{13}}{26} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x:
\int (x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12}\,dx = \frac{\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{13}}{26} + C.

Passo 5

Verificação por diferenciação: seja
F(x)=\frac{\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{13}}{26}.
Então
F'(x) = \frac{1}{26}\cdot 13\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12}\cdot(2x+2) = \frac{13}{26}\cdot2(x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12} = (x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\boxed{\int (x+1)\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{12}\,dx = \frac{\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)^{13}}{26} + C.}

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