Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
g(x)=2-3 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
g(x)=2-3e^{x}
determinando os intervalos de crescimento e decrescimento, de concavidade para cima e para baixo, além de identificar assíntotas, interceptos, extremos, pontos de inflexão, cúspides e tangentes verticais. Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade, a segunda derivada para concavidade e limites para assíntotas, além de resolver g(x)=0 e g(0) para achar interceptos.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2-3e^{x}\bigr)=-3e^{x}.
Como e^{x}>0 para todo x, segue que g'(x)<0 em \mathbb{R}. Portanto, g é estritamente decrescente em (-\infty,\infty) e não há intervalo de crescimento.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada para concavidade:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3e^{x}\bigr)=-3e^{x}.
De novo g''(x)<0 em todo \mathbb{R}, logo a curva é côncava para baixo em (-\infty,\infty) e não há concavidade para cima nem pontos de inflexão.

Passo 4

Para assíntotas horizontais, avaliamos os limites:
\lim_{x\to-\infty}g(x)=2,\qquad \lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty.
Temos portanto assíntota horizontal y=2 quando x\to-\infty. Não surge outra assíntota horizontal nem nenhuma vertical, pois g está definida em todo \mathbb{R} sem descontinuidades.

Passo 5

Interseções com os eixos:
– Eixo y: em x=0,
g(0)=2-3= -1,
ponto (0,-1).
– Eixo x: resolvendo g(x)=0,
2-3e^{x}=0\\ \Rightarrow\\ e^{x}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow\\ x=\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr),
ponto \bigl(\ln(\tfrac{2}{3}),0\bigr).

Passo 6

Como g'(x) nunca zera nem muda de sinal, não há máximos nem mínimos locais. Também não há pontos de inflexão (pois g'' não muda de sinal), nem cúspides ou tangentes verticais (a derivada é sempre finita e contínua).

Passo 7

Esboço do gráfico: a curva parte de y\approx2 quando x\to-\infty (assíntota horizontal), cruza (\ln(\tfrac{2}{3}),0), passa por (0,-1) e decai sem limite para -\infty conforme x\to\infty, mantendo-se sempre côncava para baixo.

Resposta

Intervalo de crescimento: nenhum
Intervalo de decrescimento: (-\infty,\infty)
Concavidade para cima: nenhum
Concavidade para baixo: (-\infty,\infty)
Assíntota horizontal: y=2
Assíntotas verticais: nenhuma
Interseções com os eixos: (0,-1) e \bigl(\ln(\tfrac{2}{3}),0\bigr)
Máximos e mínimos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Cúspides e tangentes verticais: nenhuma

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