Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=x^5+y^4-5 x-32 y-3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
z(x,y)=x^5+y^4-5x-32y-3
e, em seguida, classificá-los usando o teste da segunda derivada. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, solução do sistema nabla z=0 e aplicação do teste da Hessiana para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial zpartial x=5x^4-5, partial zpartial y=4y^3-32
Daí,
partial zpartial x=0 Rightarrow 5x^4-5=0 Rightarrow x^4=1 Rightarrow x=pm1,
partial zpartial y=0 Rightarrow 4y^3-32=0 Rightarrow y^3=8 Rightarrow y=2.
Portanto, os pontos críticos são
(1,2) e (-1,2).

Passo 3

Para classificar, usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
partial^2 zpartial x^2=20x^3, partial^2 zpartial y^2=12y^2, partial^2 zpartial xpartial y=0
Logo o determinante da Hessiana é
D(x,y) =partial^2 zpartial x^2,partial^2 zpartial y^2 -l(partial^2 zpartial xpartial yr)^2 =240,x^3,y^2
Lembrando o teste da segunda derivada para duas variáveis:
  • se D>0 e partial^2 zpartial x^2>0, temos mínimo local;
  • se D>0 e partial^2 zpartial x^2<0, temos máximo local;
  • se D<0, temos ponto de sela.
Avaliação em (1,2):
D(1,2)=240cdot1^3cdot2^2=960>0, partial^2 zpartial x^2(1,2)=20cdot1^3=20>0
to mínimo local.
Avaliação em (-1,2):
D(-1,2)=240cdot(-1)^3cdot2^2=-960<0
to ponto de sela.

Resposta

(1,2): mínimo local
(-1,2): ponto de sela

Exercícios de Livros Relacionados