Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=x y(2 x+4 y+1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
z = x,y,(2x + 4y + 1)
e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar as condições de estacionaridade e depois analisar o Hessiano para distinguir máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero:
Escrevendo primeiro
z = 2x^2y + 4xy^2 + xy,
temos
partial zpartial x =4xy + 4y^2 + y = y,(4x + 4y +1),
partial zpartial y =2x^2 + 8xy + x = x,(2x + 8y +1)
Condições de ponto crítico:
partial zpartial x=0, partial zpartial y=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
y,(4x + 4y +1)=0, x,(2x + 8y +1)=0
Temos quatro casos:
1. y=0 e x=0 to (0,0) 2. y=0 e 2x+1=0 to x=-tfrac12, isto é l(-tfrac12,0r) 3. 4x+4y+1=0 e x=0 to y=-tfrac14, isto é l(0,-tfrac14r) 4. 4x+4y+1=0 e 2x+8y+1=0: resolvendo o sistema linear obtemos
x=-tfrac16, y=-tfrac112

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano:
zxx = partialpartial x(4xy +4y^2 +y)=4y, zyy = partialpartial y(2x^2 +8xy +x)=8x,
zxy = partialpartial y(4xy +4y^2 +y)=4x+8y+1
Discriminante
D(x,y) = zxx,zyy - (zxy)^2 = 32,x,y - (4x+8y+1)^2

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
  • Em (0,0):
    D = -1 < 0 to ponto de sela.
  • Em l(-tfrac12,0r):
    D = -1 < 0 to ponto de sela.
  • Em l(0,-tfrac14r):
    D = -1 < 0 to ponto de sela.
  • Em l(-tfrac16,-tfrac112r):
    D = tfrac13 > 0 e zxx = -tfrac13 < 0 to máximo local.

Resposta

(0,0): ponto de sela.
l(-tfrac12,0r): ponto de sela.
l(0,-tfrac14r): ponto de sela.
l(-tfrac16,-tfrac112r): máximo local.

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