Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar as condições de estacionaridade e depois analisar o Hessiano para distinguir máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero:
Escrevendo primeiro
Escrevendo primeiro
temos
Condições de ponto crítico:
Passo 3
Resolvendo o sistema
Temos quatro casos:
.
e
.
e
, isto é
.
e
, isto é
.
e
: resolvendo o sistema linear obtemos
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano:
Discriminante
Passo 5
Avaliação em cada ponto:
- Em
:
ponto de sela. - Em
:
ponto de sela. - Em
:
ponto de sela. - Em
:
e máximo local.