Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=x^2 y+3 x y-3 x^2-4 x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
z = x^2y + 3xy - 3x^2 - 4x + 2y
e classificá-los pelo teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem para achar onde elas se anulam, e depois as derivadas de segunda ordem para montar o discriminante do Hessiano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
zx = partialpartial xl(x^2y + 3xy - 3x^2 - 4x + 2yr) = 2xy + 3y - 6x - 4
zy = partialpartial yl(x^2y + 3xy - 3x^2 - 4x + 2yr) = x^2 + 3x + 2

Passo 3

Impondo zx=0 e zy=0:
zy=0implies x^2+3x+2=0implies(x+1)(x+2)=0implies x=-1 ou x=-2
Para cada valor de x usamos zx=0:
Se x=-1,
2(-1)y +3y -6(-1)-4 = y(2cdot(-1)+3)+6-4 = y+2 =0 implies y=-2
Se x=-2,
2(-2)y +3y -6(-2)-4 = y(2cdot(-2)+3)+12-4 = -y+8 =0 implies y=8
Logo, os pontos críticos são (-1,-2) e (-2,8).

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem:
zxx = partialpartial x(2xy+3y-6x-4) = 2y-6, zyy = partialpartial y(x^2+3x+2) = 0, zxy = partialpartial y(2xy+3y-6x-4) = 2x+3

Passo 5

O discriminante do Hessiano é
D = zxx,zyy - (zxy)^2 = (2y-6)cdot 0 - (2x+3)^2 = - (2x+3)^2
Em cada ponto crítico:
  • Para (x,y)=(-1,-2), 2x+3 = 2(-1)+3 = 1implies D = -1 <0.
  • Para (x,y)=(-2,8), 2x+3 = 2(-2)+3 = -1implies D = -1 <0.

Passo 6

Como em ambos casos D<0, pelo teste da segunda derivada cada ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são
(-1,-2)e(-2,8),
e ambos são pontos de sela.

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