Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los pelo teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem para achar onde elas se anulam, e depois as derivadas de segunda ordem para montar o discriminante do Hessiano.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Impondo
e
:
Para cada valor de
usamos
:
Se ,
Se
Se
,
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem:
Passo 5
O discriminante do Hessiano é
Em cada ponto crítico:
- Para
, . - Para
, .
Passo 6
Como em ambos casos
, pelo teste da segunda derivada cada ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
e ambos são pontos de sela.