Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
6.
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Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para esboçar a curva de nível que passa por e indicar o vetor gradiente nesse ponto. Aqui vamos usar os conceitos de curva de nível e gradiente de funções de duas variáveis.
e pede para esboçar a curva de nível que passa por
Passo 2
Calculamos o valor de
em
:
Portanto a curva de nível procurada satisfaz
Passo 3
Reescrevendo essa equação obtemos
que é uma parábola de vértice na origem, eixo paralelo ao eixo
e abertura à direita. Note que
de fato pertence a ela.
Passo 4
O vetor gradiente de
é
Passo 5
Avaliaremos em
:
Esse vetor indica a direção de maior aumento de
e é perpendicular à curva de nível em
.
Passo 6
No esboço, desenhe a parábola
, marque o ponto
e trace o vetor
saindo de
apontando para cima e para a esquerda.
Resposta
Curva de nível:
(parábola com vértice na origem);
vetor gradiente em :
.
vetor gradiente em