Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
6. f(x, y)=y^2x ;(2,2)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=y^2x
e pede para esboçar a curva de nível que passa por (2,2) e indicar o vetor gradiente nesse ponto. Aqui vamos usar os conceitos de curva de nível e gradiente de funções de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos o valor de f em (2,2):
f(2,2)=2^22=2
Portanto a curva de nível procurada satisfaz
y^2x=2

Passo 3

Reescrevendo essa equação obtemos
y^2=2x
que é uma parábola de vértice na origem, eixo paralelo ao eixo x e abertura à direita. Note que (2,2) de fato pertence a ela.

Passo 4

O vetor gradiente de f é
nabla f(x,y) =gl(partial fpartial x,,partial fpartial ygr) =l(-y^2x^2,,2yxr)

Passo 5

Avaliaremos em (2,2):
nabla f(2,2) =l(-tfrac2^22^2,,tfrac2cdot22r) =(-1,2)
Esse vetor indica a direção de maior aumento de f e é perpendicular à curva de nível em (2,2).

Passo 6

No esboço, desenhe a parábola y^2=2x, marque o ponto (2,2) e trace o vetor lang<= -1,2rang<= saindo de (2,2) apontando para cima e para a esquerda.

Resposta

Curva de nível: y^2=2x (parábola com vértice na origem);
vetor gradiente em (2,2): nabla f(2,2)=(-1,2).

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