Nos Problemas 3-10, utilize o método dessa seção para calcular A^ m . Use esse resultado para calcular a potência indicada da matriz A.
A=(ll8 & 5 4 & 0) ; m=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^m com
A=8 & 5 4 & 0
e m=5.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Cayley–Hamilton para achar uma relação de recorrência entre as potências de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chi(lambda)=det(A-lambda I) =det8-lambda & 5 4 & -lambda =(8-lambda)(-lambda)-20 =lambda^2-8lambda-20
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, vale
A^2-8A-20I=0

Passo 3

Reescrevendo A^2=8A+20I como recorrência, obtemos para n>=2:
A^n=8A^n-1+20A^n-2

Passo 4

Para n=3:
A^3 =8A^2+20A =8l(8A+20Ir)+20A =84A+160I

Passo 5

Para n=4:
A^4 =8A^3+20A^2 =8l(84A+160Ir)+20l(8A+20Ir) =832A+1680I

Passo 6

Para n=5:
A^5 =8A^4+20A^3 =8l(832A+1680Ir)+20l(84A+160Ir) =8336A+16640I

Passo 7

Substituindo A e I:
8336A =83368&54&0 =66688&4168033344&0, 16640I =16640&00&16640
Logo
A^5 =8336A+16640I =66688+16640 & 41680 [6pt] 33344 & 0+16640 =83328 & 41680 [3pt] 33344 & 16640 ]

Resposta

A^5 =83328 & 41680 33344 & 16640

Exercícios de Livros Relacionados