PRODUÇÃO Usando x operários especializados e y operários não especializados, uma fábrica é capaz de produzir Q(x, y) =10 x^{2} y unidades por dia. No momento, a fábrica opera com 20 operários especializados e 40 operários não especializados.
a. Quantas unidades estão sendo produzidas por dia?
b. Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar com mais um operário especializado?
c. Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais um operário não especializado?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
Q(x,y)=10x^{2}y
e pede:
– (a) o valor de Q em (x,y)=(20,40);
– (b) a variação de Q ao acrescentar um operário especializado (incremento de 1 em x);
– (c) a variação de Q ao acrescentar um operário não especializado (incremento de 1 em y).
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais, que nos dá a taxa de variação de Q em cada direção.

Passo 2

Calculamos a produção atual substituindo (x,y)=(20,40) em Q.
Q(20,40)=10\cdot20^{2}\cdot40=10\cdot400\cdot40=160000.

Passo 3

Determinamos as derivadas parciais de Q:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(10x^{2}y\bigr) =20xy,
\frac{\partial Q}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(10x^{2}y\bigr) =10x^{2}.

Passo 4

A variação aproximada de Q ao adicionar um operário especializado é dada por
\left.\frac{\partial Q}{\partial x}\right|_{(20,40)} =20\cdot20\cdot40=16000.

Passo 5

A variação aproximada de Q ao adicionar um operário não especializado é dada por
\left.\frac{\partial Q}{\partial y}\right|_{(20,40)} =10\cdot20^{2}=4000.

Resposta

(a) 160000 unidades por dia.
(b) A produção aumenta cerca de 16000 unidades.
(c) A produção aumenta cerca de 4000 unidades.

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