Quais das proposições a seguir são verdadeiras:
a) 0 \in \mathbb{N}
b) 0 \notin \mathbb{Z}
c) -15 \notin \mathbb{Z}
d) \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}_{+}
e) \mathbb{N} \cap \mathbb{Z}_{-}=\varnothing
f) \left(2-\frac{7}{8}\right) \notin \mathbb{Q}
g) \frac{15}{7} \in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z})
h) \mathbb{Z} \cap \mathbb{I}=\varnothing
i) \mathbb{Q}_{+}^{+} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N}
j) \{0\} \subset \mathbb{Q}

Passo 1

Vamos primeiro lembrar os conjuntos envolvidos e suas definições mais comuns em cursos de exatas:
\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais, sem o zero)
\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} (inteiros)
\mathbb{Z}_{+}=\{1,2,3,\dots\} (inteiros positivos)
\mathbb{Z}_{-}=\{\dots,-3,-2,-1\} (inteiros negativos)
\mathbb{Q}=\{p/q\mid p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\} (racionais)
\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (irracionais)
Além disso, \mathbb{Q}-\mathbb{Z} são os racionais que não são inteiros, e \mathbb{Q}^{+} ou \mathbb{Q}_{+}^{+} representam os racionais estritamente positivos.

Passo 2

Analisamos as afirmações de pertencimento:
a) 0\in\mathbb{N}? Como adotamos \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}, isso é falso.
b) 0\notin\mathbb{Z}? Mas 0 é inteiro, logo a proposição é falsa.
c) -15\notin\mathbb{Z}? Como -15\in\mathbb{Z}, a afirmação também é falsa.

Passo 3

Agora as relações de subconjunto e interseção envolvendo inteiros positivos e negativos:
d) \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}_{+}? Verdadeiro, pois ambos são \{1,2,3,\dots\}.
e) \mathbb{N}\cap\mathbb{Z}_{-}=\varnothing? Verdadeiro, pois naturais são positivos e não há sobreposição com negativos.

Passo 4

Verificamos racionais e irracionais:
f) \displaystyle2-\frac{7}{8}\notin\mathbb{Q}? Calculando 2-\tfrac{7}{8}=\tfrac{16}{8}-\tfrac{7}{8}=\tfrac{9}{8}, que é racional, então essa afirmação é falsa.
g) \tfrac{15}{7}\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z})? Sim, \tfrac{15}{7} é racional e não é inteiro, logo verdadeiro.
h) \mathbb{Z}\cap\mathbb{I}=\varnothing? Verdadeiro, inteiros não podem ser irracionais.

Passo 5

Por fim, casos finais de interseção e subconjunto:
i) \mathbb{Q}_{+}^{+}\cap\mathbb{Z}=\mathbb{N}? Os racionais estritamente positivos que são inteiros são exatamente \{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N}, logo verdadeiro.
j) \{0\}\subset\mathbb{Q}? Como 0 é racional, isso é verdadeiro.

Resposta

As proposições verdadeiras são
d), e), g), h), i) e j).

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