Provar que. integral0^x Tn(u) d u=12Tn+1(x)-Tn+1(0)n+1-Tn-1(x)-Tn-1(0)n-1 se n >=q 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de integração dos polinômios de Chebyshev de primeira espécie Tn(x), isto é, mostrar que, para n>=2, vale
integral0^xTn(u),du =12l[Tn+1(x)-Tn+1(0)n+1 -Tn-1(x)-Tn-1(0)n-1r]
O conteúdo que vamos usar envolve a definição trigonométrica de Tn e a sua derivada em termos dos polinômios de Chebyshev de segunda espécie Un.

Passo 2

Lembramos que, para -1<= x<=1, se x=costheta então
Tn(x)=cos(ntheta), Un(x)=sinl((n+1)thetar)sintheta,
e que
ddxTm(x)=m,Um-1(x), m>=1

Passo 3

Usando as definições trigonométricas, temos
Un(x)-Un-2(x) =sinl((n+1)thetar)-sinl((n-1)thetar)sintheta =2sinthetacos(ntheta)sintheta =2cos(ntheta) =2,Tn(x)

Passo 4

Considere a função
F(x)=Tn+1(x)n+1-Tn-1(x)n-1
Então, usando a regra da cadeia e a relação da derivada de Tm,
dFdx =T'n+1(x)n+1-T'n-1(x)n-1 =Un(x)-Un-2(x) =2,Tn(x)

Passo 5

Integramos de 0 a x:
integral0^x2,Tn(u),du =F(x)-F(0) =l[Tn+1(x)n+1-Tn-1(x)n-1r] -l[Tn+1(0)n+1-Tn-1(0)n-1r]
Dividindo por 2 vem exatamente a fórmula desejada.

Resposta

integral0^xTn(u),du =12l[Tn+1(x)-Tn+1(0)n+1 -Tn-1(x)-Tn-1(0)n-1r]

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