(a) Provar que 2 Tm(x) Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x).
(b) Provar que Tm n(x)=Tm[Tn(x)]=Tn[Tm(x)].

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades envolvendo os polinômios de Chebyshev de primeira espécie Tn(x). O conteúdo central é a representação trigonométrica
Tn(x)=cosl(narccos(x)r),
que nos permite usar identidades de cossenos para demonstrar ambas as igualdades.

Passo 2

Para aproveitar a forma trigonométrica, fazemos a substituição
x=costheta,
de modo que
Tn(x)=cos(ntheta)

Passo 3

Prova de ;2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x).
Com x=costheta temos
Tm(x)=cos(mtheta), Tn(x)=cos(ntheta)
Então
2,Tm(x),Tn(x) =2cos(mtheta)cos(ntheta) =cosl((m+n)thetar)+cosl((m-n)thetar),
pela identidade trigonométrica
2cos Acos B=cos(A+B)+cos(A-B)
Mas cosl((mpm n)thetar)=Tmpm n(x), logo
2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x)

Passo 4

Prova de ;Tmn(x)=Tml(Tn(x)r)=Tnl(Tm(x)r).
Novamente com x=costheta temos Tn(x)=cos(ntheta). Então
Tml(Tn(x)r) =Tml(cos(ntheta)r) =cosl(mcdot nthetar) =cos(mntheta) =Tmn(x)
Simetricamente trocando m e n obtemos
Tnl(Tm(x)r)=Tmn(x)

Resposta

(a) 2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x).
(b) Tmn(x)=Tml(Tn(x)r)=Tnl(Tm(x)r).

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