(a) Provar que
.
(b) Provar que
.
(b) Provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar duas identidades envolvendo os polinômios de Chebyshev de primeira espécie
. O conteúdo central é a representação trigonométrica
que nos permite usar identidades de cossenos para demonstrar ambas as igualdades.
Passo 2
Para aproveitar a forma trigonométrica, fazemos a substituição
de modo que
Passo 3
Prova de
.
Com temos
Com
Então
pela identidade trigonométrica
Mas
, logo
Passo 4
Prova de
.
Novamente com temos
. Então
Novamente com
Simetricamente trocando
e
obtemos
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)