Prove que dois planos paralelos distintos determinam em retas paralelas distintas segmentos congruentes.

Passo 1

O enunciado fala de duas curvas geométricas: dois planos paralelos e duas retas paralelas. Cada reta corta ambos os planos, gerando em cada reta um segmento limitado pelos pontos de interseção com o primeiro e com o segundo plano. Precisamos provar que esses dois segmentos têm o mesmo comprimento, ou seja, são congruentes. O conteúdo que vamos usar envolve a noção de distância entre planos e de ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Sejam pi e pi' os dois planos paralelos distintos, e r e s as duas retas paralelas distintas. Defina
  • A = rcappi, B = rcappi',
  • C = scappi, D = scappi'.
    Chamemos de AB e CD esses segmentos. Como rparal<=l s, as duas retas formam o mesmo ângulo theta com o plano pi; esse mesmo ângulo é também o formado com pi', por serem piparal<=lpi'.

Passo 3

Seja h a distância entre os planos pi e pi', medida na direção perpendicular a eles. Se numa reta r formamos o triângulo retângulo cuja hipotenusa é AB e cuja altura (cateto oposto ao ângulo theta) vale h, pela definição de seno temos
sintheta ;=;cateto opostohipotenusa ;=;hAB Longrightarrow AB ;=;hsintheta

Passo 4

De modo idêntico para a reta s, o segmento CD forma com a direção perpendicular aos planos um triângulo retângulo de cateto oposto h e hipotenusa CD. Portanto
CD ;=;hsintheta

Passo 5

Como ambos os segmentos entram na mesma fórmula
AB = hsintheta e CD = hsintheta,
concluímos que
AB = CD
Ou seja, os dois planos paralelos distintos determinam em retas paralelas distintas segmentos congruentes.

Resposta

Os segmentos determinados são congruentes, pois AB=CD.

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