Prove que dois planos paralelos distintos determinam em retas paralelas distintas segmentos congruentes.
Passo 1
O enunciado fala de duas curvas geométricas: dois planos paralelos e duas retas paralelas. Cada reta corta ambos os planos, gerando em cada reta um segmento limitado pelos pontos de interseção com o primeiro e com o segundo plano. Precisamos provar que esses dois segmentos têm o mesmo comprimento, ou seja, são congruentes. O conteúdo que vamos usar envolve a noção de distância entre planos e de ângulo entre reta e plano.
Passo 2
Sejam
e
os dois planos paralelos distintos, e
e
as duas retas paralelas distintas. Defina
-
, , -
, .
Chamemos dee esses segmentos. Como , as duas retas formam o mesmo ângulo com o plano ; esse mesmo ângulo é também o formado com , por serem .
Passo 3
Seja
a distância entre os planos
e
, medida na direção perpendicular a eles. Se numa reta
formamos o triângulo retângulo cuja hipotenusa é
e cuja altura (cateto oposto ao ângulo
) vale
, pela definição de seno temos
Passo 4
De modo idêntico para a reta
, o segmento
forma com a direção perpendicular aos planos um triângulo retângulo de cateto oposto
e hipotenusa
. Portanto
Passo 5
Como ambos os segmentos entram na mesma fórmula
concluímos que
Ou seja, os dois planos paralelos distintos determinam em retas paralelas distintas segmentos congruentes.
Resposta
Os segmentos determinados são congruentes, pois
.