Prove que, se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro.

Passo 1

O enunciado afirma que dois planos alpha e beta são perpendiculares entre si ( alphaperp beta), e pede para mostrar que qualquer reta r perpendicular a um deles (digamos rperp alpha) é paralela ou está contida no outro ( beta). Vamos usar o critério vetorial de paralelismo entre reta e plano: uma reta é paralela a um plano precisamente quando seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Seja nalpha um vetor normal ao plano alpha e nbeta um vetor normal ao plano beta. Como alphaperp beta, temos
nalphacdotnbeta=0
Por outro lado, rperp alpha implica que o vetor diretor v de r é paralelo ao normal de alpha, isto é,
vparal<=l nalpha

Passo 3

Da paralelismo vparal<=l nalpha segue que existe escalar lambda tal que v=lambda,nalpha. Então
vcdotnbeta =l(lambda,nalphar)cdotnbeta =lambda,(nalphacdotnbeta) =lambdacdot 0 =0

Passo 4

Como vcdotnbeta=0, o vetor diretor de r é ortogonal ao vetor normal de beta. Pelo critério vetorial, isso significa que r é paralela ao plano beta. Em geometria, “ser paralela a um plano” inclui os casos de a reta não intersectar o plano ou de estar inteiramente nele.

Resposta

Qualquer reta r perpendicular a alpha satisfaz rparal<=l beta, ou seja, é paralela ou está contida no plano beta.

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