Prove que, se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro.
Passo 1
O enunciado afirma que dois planos
e
são perpendiculares entre si (
), e pede para mostrar que qualquer reta
perpendicular a um deles (digamos
) é paralela ou está contida no outro (
). Vamos usar o critério vetorial de paralelismo entre reta e plano: uma reta é paralela a um plano precisamente quando seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.
Passo 2
Seja
um vetor normal ao plano
e
um vetor normal ao plano
. Como
, temos
Por outro lado,
implica que o vetor diretor
de
é paralelo ao normal de
, isto é,
Passo 3
Da paralelismo
segue que existe escalar
tal que
. Então
Passo 4
Como
, o vetor diretor de
é ortogonal ao vetor normal de
. Pelo critério vetorial, isso significa que
é paralela ao plano
. Em geometria, “ser paralela a um plano” inclui os casos de a reta não intersectar o plano ou de estar inteiramente nele.
Resposta
Qualquer reta
perpendicular a
satisfaz
, ou seja, é paralela ou está contida no plano
.