Prove que, se uma reta a está num plano
, perpendicular a uma reta
, então a reta
também está num plano perpendicular à reta
.
Passo 1
O enunciado diz que a reta
está contida no plano
e que
. Queremos mostrar que existe um plano perpendicular a
que contenha a reta
. Para isso usaremos dois fatos básicos de geometria espacial:
- Num plano, por um ponto
dado, passa uma e só uma reta perpendicular a uma reta fixa desse plano. - Um plano é perpendicular a uma reta se, e somente se, contém uma reta perpendicular a essa reta.
Passo 2
Como
, por definição de retas perpendiculares em espaço, elas se intersectam em um ponto. Seja
Então
e
. Como
, segue também que
.
Passo 3
No plano
, traçamos a reta
passando por
e perpendicular a
. Pelo fato 1, essa reta existe e é única. Logo
Passo 4
As retas
e
determinam um plano, digamos
, pois são duas retas distintas que se cruzam em
. Assim
Passo 5
Já que
em
e
, pelo fato 2, concluímos que
Logo
é um plano perpendicular a
que contém
.
Resposta
Tomando
como o plano determinado pelas retas
e
, obtemos exatamente um plano perpendicular a
que contém
. Portanto, a reta
está em um plano perpendicular à reta
.