Prove que, se uma reta a está num plano alpha, perpendicular a uma reta b, então a reta b também está num plano perpendicular à reta a.

Passo 1

O enunciado diz que a reta a está contida no plano alpha e que aperp b. Queremos mostrar que existe um plano perpendicular a a que contenha a reta b. Para isso usaremos dois fatos básicos de geometria espacial:
  1. Num plano, por um ponto P dado, passa uma e só uma reta perpendicular a uma reta fixa desse plano.
  2. Um plano é perpendicular a uma reta se, e somente se, contém uma reta perpendicular a essa reta.

Passo 2

Como aperp b, por definição de retas perpendiculares em espaço, elas se intersectam em um ponto. Seja
P = a cap b
Então Pin a e Pin b. Como asubsetalpha, segue também que Pinalpha.

Passo 3

No plano alpha, traçamos a reta d passando por P e perpendicular a a. Pelo fato 1, essa reta existe e é única. Logo
dsubsetalpha e dperp a

Passo 4

As retas b e d determinam um plano, digamos beta, pois são duas retas distintas que se cruzam em P. Assim
bsubsetbeta e dsubsetbeta

Passo 5

Já que dperp a em P e dsubsetbeta, pelo fato 2, concluímos que
betaperp a
Logo beta é um plano perpendicular a a que contém b.

Resposta

Tomando beta como o plano determinado pelas retas b e d, obtemos exatamente um plano perpendicular a a que contém b. Portanto, a reta b está em um plano perpendicular à reta a.

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