Prove que se n é um inteiro não negativo, então: 17 mid 2^7 n+1+3^2 n+1+5^10 n+1+7^6 n+1.

Passo 1

Vamos provar que para todo inteiro não negativo n vale
17 mid 2^7n+1 + 3^2n+1 + 5^10n+1 + 7^6n+1
O que faremos é trabalhar com congruências módulo 17 e usar que, por Fermat, se gcd(a,17)=1 então a^16equiv1pmod17.

Passo 2

Calculamos as potências básicas módulo 17:
2^7 equiv 128 equiv 9, 3^2 equiv 9, 5^10 = (5^2)^5 equiv 8^5, 7^6 = (7^2)^3 equiv 15^3pmod17
De fato, 5^2=25equiv8, então 5^10=(5^2)^5equiv8^5. Mas 8^2=64equiv13 e 8^4equiv13^2=169equiv16, logo 8^5=8^4cdot8equiv16cdot8=128equiv9.
E 7^2=49equiv15, 7^4equiv15^2=225equiv4, logo 7^6=7^4cdot7^2equiv4cdot15=60equiv9.
Portanto
2^7equiv3^2equiv5^10equiv7^6equiv9pmod17

Passo 3

Escrevemos cada termo 2^7n+1 etc. como
2^7n+1=2cdot(2^7)^nequiv2cdot9^n, 3^2n+1=3cdot(3^2)^nequiv3cdot9^n,
5^10n+1=5cdot(5^10)^nequiv5cdot9^n, 7^6n+1=7cdot(7^6)^nequiv7cdot9^n pmod17
Somando estes quatro termos, obtemos
2^7n+1+3^2n+1+5^10n+1+7^6n+1 equiv(2+3+5+7),9^npmod17

Passo 4

Calculamos 2+3+5+7=17. Logo
2^7n+1+3^2n+1+5^10n+1+7^6n+1 equiv17cdot9^nequiv0pmod17,
o que mostra que 17 divide essa soma para todo n>=0.

Resposta

Como fizemos acima, conclui-se que
17 mid 2^7n+1 + 3^2n+1 + 5^10n+1 + 7^6n+1
para todo inteiro não negativo n.

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