Prove que se
é um inteiro não negativo, então:
.
Passo 1
Vamos provar que para todo inteiro não negativo
vale
O que faremos é trabalhar com congruências módulo
e usar que, por Fermat, se
então
.
Passo 2
Calculamos as potências básicas módulo
:
De fato,
, então
. Mas
e
, logo
.
E ,
, logo
.
Portanto
E
Portanto
Passo 3
Escrevemos cada termo
etc. como
Somando estes quatro termos, obtemos
Passo 4
Calculamos
. Logo
o que mostra que
divide essa soma para todo
.
Resposta
Como fizemos acima, conclui-se que
para todo inteiro não negativo
.