Prove que mdc (a, b, c) = mdc (mdc (a, b), mdc (a, c)).

Passo 1

Vamos provar que
gcd(a,b,c) ;=;gcdl(gcd(a,b),,gcd(a,c)r)
Para isso, definições e propriedades de divisibilidade e de máximo divisor comum (gcd) serão usadas: se d=gcd(x,y), então
  1. dmid x e dmid y.
  2. Se um inteiro k divide simultaneamente x e y, então kmid d.

Passo 2

Denote
g = gcd(a,b,c), d = gcd(a,b), e = gcd(a,c), h = gcd(d,e)
Como gmid a, gmid b e gmid c por definição de g, segue que g divide simultaneamente a e b, logo
g mid d
Do mesmo modo, gmid a e gmid c implica
g mid e
Portanto g é um divisor comum de d e e, e pela definição de h=gcd(d,e) obtemos
g mid h

Passo 3

Agora, seja k um divisor comum de d e e. Então
kmid d=gcd(a,b)implies kmid a e kmid b,
e
kmid e=gcd(a,c)implies kmid a e kmid c
Logo k divide simultaneamente a, b e c. Pelo caráter máximo de g=gcd(a,b,c), segue
k mid g
Em particular, como h é o maior divisor comum de d e e, h divide g:
h mid g

Passo 4

Concluímos que gmid h e hmid g. Dois inteiros positivos que se dividem mutuamente são iguais. Assim
g = h,
ou seja
gcd(a,b,c)=gcdl(gcd(a,b),,gcd(a,c)r)

Resposta

boxedgcd(a,b,c) = gcdl(gcd(a,b),,gcd(a,c)r)

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