Prove que mdc (a, b, c) = mdc (mdc (a, b), mdc (a, c)).
Passo 1
Vamos provar que
Para isso, definições e propriedades de divisibilidade e de máximo divisor comum (gcd) serão usadas: se
, então
-
e . - Se um inteiro
divide simultaneamente e , então .
Passo 2
Denote
Como
,
e
por definição de
, segue que
divide simultaneamente
e
, logo
Do mesmo modo,
e
implica
Portanto
é um divisor comum de
e
, e pela definição de
obtemos
Passo 3
Agora, seja
um divisor comum de
e
. Então
e
Logo
divide simultaneamente
,
e
. Pelo caráter máximo de
, segue
Em particular, como
é o maior divisor comum de
e
,
divide
:
Passo 4
Concluímos que
e
. Dois inteiros positivos que se dividem mutuamente são iguais. Assim
ou seja