Demonstrar que mdc(a, b)=mdc(a, c) implica mdc (a, b) = mdc (a, b, c).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
mdc(a,b)=mdc(a,c),
então
mdc(a,b)=mdc(a,b,c).
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e uso da propriedade
mdc(a,b,c)=mdcl(mdc(a,b),,cr)

Passo 2

Defina
d = mdc(a,b)
Por definição de mdc, isso significa que dmid a, dmid b e qualquer outro divisor comum de a e b também divide d.

Passo 3

Use a propriedade de extensão do mdc a três números:
mdc(a,b,c) =mdcl(mdc(a,b),,cr) =mdc(d,c)

Passo 4

Como ficou dado que
mdc(a,c)=d,
então d é divisor de c. Logo, o maior divisor comum de d e c é d mesmo, ou seja
mdc(d,c)=d

Passo 5

Juntando, obtemos
mdc(a,b,c) =mdc(d,c) =d =mdc(a,b),
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

mdc(a,b,c)=mdc(a,b).

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