Prove que não existe nenhum número inteiro com a seguinte propriedade: Se o primeiro dígito é apagado, o número resultante é
do número original.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro que, ao apagarmos o primeiro dígito, o número que sobra seja exatamente
do número original. O conteúdo aqui é representação decimal de um inteiro e argumentos de divisibilidade.
Passo 2
Seja
o inteiro original, com
dígitos, de modo que seu primeiro dígito é
e os demais formam um número
com
dígitos (possivelmente começando em zero). Então podemos escrever
Pela propriedade do enunciado, apagar o primeiro dígito transforma
em
, e temos
Multiplicando ambos os lados por
, vem
ou seja
Passo 3
Da igualdade
concluímos que
deve dividir
. Como
temos
Para que
divida esse produto, é claro que
deve dividir
. Mas
e
, logo
deve dividir
.
Passo 4
Como
é um dígito de
a
, não pode ser múltiplo de
. Isso é uma contradição à necessidade de
. Logo não existe nenhum inteiro que satisfaça a condição do enunciado.
Resposta
Não existe nenhum número inteiro com essa propriedade.