Prove que não existe nenhum número inteiro com a seguinte propriedade: Se o primeiro dígito é apagado, o número resultante é 1 / 35 do número original.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro que, ao apagarmos o primeiro dígito, o número que sobra seja exatamente tfrac135 do número original. O conteúdo aqui é representação decimal de um inteiro e argumentos de divisibilidade.

Passo 2

Seja N o inteiro original, com k+1 dígitos, de modo que seu primeiro dígito é din1,2,dots,9 e os demais formam um número m com k dígitos (possivelmente começando em zero). Então podemos escrever
N = dcdot 10^k + m
Pela propriedade do enunciado, apagar o primeiro dígito transforma N em m, e temos
m = N35
Multiplicando ambos os lados por 35, vem
35,m = N = dcdot 10^k + m,
ou seja
34,m = dcdot 10^k

Passo 3

Da igualdade 34,m = dcdot 10^k concluímos que 34 deve dividir dcdot 10^k. Como
34 = 2cdot 17 e 10^k = 2^kcdot 5^k,
temos
dcdot 10^k = dcdot 2^kcdot 5^k
Para que 2cdot17 divida esse produto, é claro que 17 deve dividir dcdot 2^kcdot 5^k. Mas gcd(17,2)=1 e gcd(17,5)=1, logo 17 deve dividir d.

Passo 4

Como d é um dígito de 1 a 9, não pode ser múltiplo de 17. Isso é uma contradição à necessidade de 17mid d. Logo não existe nenhum inteiro que satisfaça a condição do enunciado.

Resposta

Não existe nenhum número inteiro com essa propriedade.

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